Cantor-Bernstein version topologique

[Nightmare]

Bonsoir à tous :happy3:

Un exercice sympathique que je vous soumets :

On connait tous le théorème de Cantor-Bernstein :

Deux ensembles mutuellement en injection sont équipotents

A-t-on un équivalent topologique à ce théorème ?

Je vous propose donc de trouver deux sous-ensembles de R mutuellement en bijection continue mais qui ne soient pas homéomorphes.

Bonne recherche. (Ce n'est pas difficile une fois qu'on a compris ce qui était important :lol3: )

:happy3:

[sniperamine]

c'est à dire qu'il existe une bijectionf entre ces deux ensembles mais f^-1 n'est pas continue ?

[Nightmare]

une bijection continue oui.

On peut trouver une bijection continue de A vers B et une bijection continue de B vers A mais pas d'homéomorphisme de A dans B.

[sniperamine]

ok merci je vais y reflechir demain :happy2:

[sniperamine]

d'ailleurs si, on a f:E--->F une application continue et bijective et E compact alors f^-1 est continue

[ThSQ]

Je vous propose donc de trouver deux sous-ensembles de R mutuellement en bijection continue mais qui ne soient pas homéomorphes.

Une suggestion (un peu compliqué mais j'ai pas plus simple pour le moment ...), je crois bien que ça marche :

Idée :

- il y a une bijection continue entre ]0;1] U ]2;3[ et ]0;1[ (on recolle les morceaux (x/2 et (x-2)/2+1/2))
- il y a une bijection continue entre ]0;1[ U {2} et ]0;1] (on envoie 2 sur 1 (et Id sinon))

Ensuite à la Cantor on complète pour pouvoir refaire le coup de l'hôtel infini :

]0;1] U ]2;3[ U {4} U ]5;6[ U {7} U ...
et
]0;1[ U {2} U ]3;4[ U {5} U ]6;7[ U {8} U...

Les deux ensembles ne sont pas homéomorphes car ]0;1] n'a pas de composante connexe correspondante (on peut lui enlever un point de sorte qu'il reste connexe).

C'est un argument de connexité qui le fait ici.


Edit : d'où tu sors tous tes problèmes intéressants Nightmare ? TD ?

[Nightmare]

C'est exactement ça :happy3:

Quand on voit que l'important est la connexité, on trouve facilement un ensemble qui convient.

[ThSQ]

Ok, mais rien de plus simple ?

Suite : même chose mais avec un difféomorphisme.

[Nightmare]

ThSQ > C'est déjà simple comme solution :happy3:

Oui, ce sont des exercices de TD donnés par mon moniteur d'analyse du premier semestre.

[kazeriahm]

Salut,

dans le même genre de questionnement mathématiques et autre introspection métaphysique, je vous recommande un bouquin de Paul Halmos "Problems for Mathematicians Young and Old", très amusant, très instructif et écrit dans un anglais délicieux. Je cite en particulier deux exos qui vont dans la lignée du débat :

Do there exist two topological groups that are isomorphic as groups and homeomorphic as topological spaces but not isomorphic as topological groups?

Is the inverse of a continuous bijective automorphism between topological groups always continuous?

Allez j'en remets encore un

Do there exist two non-isomorphic fields whose additive groups are isomorphic and whose multiplicative groups are isomorphic?

et un dernier dans la droite lignée de la question initiale de ce topic

If each of two groups is isomorphic to a subgroup of the other, must they be isomorphic?

Bonne réflexion !

[ThSQ]

Sympa ces exos :happy2:

If each of two groups is isomorphic to a subgroup of the other, must they be isomorphic?

et marchent m'semble bien donc la réponse serait non

[ThSQ]

Do there exist two topological groups that are isomorphic as groups and homeomorphic as topological spaces but not isomorphic as topological groups?

Je dirais deux extensions quadratiques différentes : et avé et d et d' sans facteurs carrés

C'est comme groupe additif et espace topologique et oar continuité on pourrait transformer une racine en un multiple de l'autre ce qui ne marche pas.

[kazeriahm]

J'ai plus les contre exemples (les réponses sont toutes non bien sur sinon ca se saurait) en tête mais je crois qu'il suit à peu près la même construction que toi, je pourrais te dire ca demain.

En tout cas ce livre est vraiment un régal de bouquin. 120 pages d'exos (dénombrement, suite numérique, topologie, analyse, proba, transformation, algèbre, théorie de la mesure, géomètrie, matrices,...) dans le même genre, le livre des questions que personne ne s'est jamais posé. Je le recommande à tous les fondus de maths !