Espace topologique complet ?

[Zebulon]

Bonjour,
je voulais tout simplement savoir si un espace complet est nécessairement un espace métrique. Une suite de Cauchy n'a-t-elle de sens que dans un espace métrique ? Ne peut-on pas écrire une version du critère de Cauchy en espace topologique comme ceci :
soit , est de Cauchy si et seulement si
?

[alben]

La propriété d'espace complet n'existe que pour les espaces métriques. Dans le cadre général, la notion proche (mais non équivalente) est celle de compacité.

On peut chercher quelque chose d'équivalent mais votre définition me semble poser problème avec les deux quantificateurs universels pour n et p
En clair cela signifie que pour tout couple n,p si l'un des deux appartient à un ouvert quelconque, l'autre aussi. C'est-à-dire que s'il existe un seul terme >N qui soit dans U, tous le sont. Autrement dit, pour tout ouvert, on peut trouver un certain N au delà duquel tous les termes sont dans U ou bien tous sont extérieurs. Je le formulerais ainsi :

[Zebulon]

Je suis d'accord que ce que nous disons est équivalent. Mais d'un point de vue logique, qu'est-ce qui "pose problème avec les deux quantificateurs universels pour n et p" ?
D'autre part, est-ce que tu peux expliciter en quoi la compacité est une généralisation de la complétude s'il te plaît ?

[alben]

Je suis d'accord que ce que nous disons est équivalent. Mais d'un point de vue logique, qu'est-ce qui "pose problème avec les deux quantificateurs universels pour n et p" ?
D'autre part, est-ce que tu peux expliciter en quoi la compacité est une généralisation de la complétude s'il te plaît ?

Pour le premier point, c'est simplement qu'il m'a fallut 10mn pour visualiser le sens de cette définition. Ce qui est génant, c'est la symétrie de n et p et la dyssimétrie (apparente) dans la propriété.
Attention, les deux propriétés ne sont pas équivalentes : un espace métrique compact est complet mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
Cependant, un espace non métrique compact possède la propriété analogue à Bolzano Weierstrass : toute partie infinie posséde un point d'accumulation. Ce qui appliqué à tes pseudo suites de Cauchy signifie qu'elle ont une limite.
De fait compact est plus fort que complet

Pour l'anecdote : j'avais remarqué que tu vouvoyais les forumeurs et comme j'ai pour principe de ne jamais tutoyer qui me dis "vous", j'avais fait attention à te vouvoyer dans le message précédent et tu me répond "tu". Ca me va bien mais à quoi ça sert que je me casse la tête :we:

[Zebulon]

Pour le premier point, c'est simplement qu'il m'a fallut 10mn pour visualiser le sens de cette définition. Ce qui est génant, c'est la symétrie de n et p et la dyssimétrie (apparente) dans la propriété.

OK, merci.

Attention, les deux propriétés ne sont pas équivalentes : un espace métrique compact est complet mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Contre-exemple évident : est complet mais pas compact.

Cependant, un espace non métrique compact possède la propriété analogue à Bolzano Weierstrass : toute partie infinie posséde un point d'accumulation. Ce qui appliqué à tes pseudo suites de Cauchy signifie qu'elle ont une limite.
De fait compact est plus fort que complet

Merci de me l'avoir fait remarquer. Ca ne me paraissait pas évident (je ne fais de la topologie que depuis le début de l'année) mais en fait, j'ai su le montrer facilement.

Pour l'anecdote : j'avais remarqué que tu vouvoyais les forumeurs et comme j'ai pour principe de ne jamais tutoyer qui me dis "vous", j'avais fait attention à te vouvoyer dans le message précédent et tu me répond "tu". Ca me va bien mais à quoi ça sert que je me casse la tête :we:

C'est vrai, je vouvoyais tout le monde à part quelques uns que je commence à connaître. Mais ce matin, j'ai décidé qu'à partir de maintenant, je tutoierais ! :ptdr:

[yos]

Bonjour.
La généralisation des suites de Cauchy de Zébulon est pas mal, sauf qu'elle n'est jamais réalisée. Il suffit de prendre deux ouverts disjoints U et V. Presque tous les termes de la suite sont dans U et presque tous les termes de la suite sont dans V. Cela ne se peut pas.

[Zebulon]

Il suffit de prendre deux ouverts disjoints U et V. Presque tous les termes de la suite sont dans U et presque tous les termes de la suite sont dans V. Cela ne se peut pas.

Excuse-moi, mais je ne comprends pas... :triste:
Soit tous les termes (à partir d'un certain rang) sont dans U, soit ils n'y sont pas. :hein:

[alben]

Tu vois, je pense que yos s'est embrouillé à partir de ta définition alambiquée :we:

[yos]

Tu vois, je pense que yos s'est embrouillé à partir de ta définition alambiquée :we:

En effet, j'avais pas vu le dernier "implique". J'avais mis "et" à la place.
Ce dernier "implique" est en fait un "équivalent" vue l'échangeabilité des deux précédents quantificateurs.
Pourquoi pas! Cela me semble intéressant.