Intérieure, ouvert, frontière...

[Bill BM]

Bonsoir à tous!

J'ai besoin d'établir 3 preuves pour résoudre certains problèmes de topologie générale. SVP c'est d'une grande urgence pour moi.
Les voici:


1- Montrer que Fr(A);)Fr(B) = Ø ;) intérieur (A union B) = intérieur(A) union intérieur(B).
2- Montrer que l'intersection de 2 ouverts denses est dense
3- Montrer que l’intérieure d’un ensemble dénombrable est vide

[Lemniscate]

Montrer que Fr(A);)Fr(B) = Ø intérieure(A) union intérieure(B).

Enoncé incomplet... En tous les cas tu peux sans doute utilisé la définition de la frontière et que

Montrer que l’intérieur de 2 ouverts denses est dense

L'intérieur de l'union des 2 ? L'union des 2 intérieurs. J'ai l'impression que ton énoncé actuel n'a pas de sens...

[Lemniscate]

Montrer que l’intérieure d’un ensemble dénombrable est vide

Si E est dénombrable alors il y a une injection i de E vers N. Donc on peut se ramener à un ensemble E={} pour
Donc E = union pour des {}
Or chaque {} a un intérieur vide et l'intérieur d'une réunion dénombrable de parties est égale à la réunion des intérieurs (quelqu'un pourrait-il le confirmer ?).

D'où le résultat.

[Bill BM]

Pardon, en effet pour la 1) faut montrer que l'intérieure de l'union c'est l'union des intérieures.

[gdlrdc]

je ne pense pas qu'il y est égalité
exemple int ( ]1;2]U]2;3[) = ]1;3[ et int (]1;2]) U int (]2;3[) = ]1;2[ U ]2;3[

[Bill BM]

Même quand les frontières sont disjointes?

[Lemniscate]

Effectivement j'ai confondu avec un autre résultat : "l'intersection des intérieurs est égal à l'intérieur de l'intersection".
Mais si tu as démontré ton premier résultat, tu fais une récurrence pour démontrer le 3e résultat, cf ma méthode. (en effet si tu prends deux points distincts ils ont chacun un intérieur vide, une adhérence égale à eux mêmes et donc une frontière égale à eux même, les deux adhérences sont donc disjointes car les deux points sont distincts).

[Bill BM]

Oui mais sauf que ça coince encor pour la première preuve

[Lemniscate]

Il faudrait réussir à montrer qu'en général :
....

[Bill BM]

Pour la 2) j'y ai apporté les modifications nécessaires. Tu peux la relire

[R.C.]

Bonjour,

3- Montrer que l’intérieure d’un ensemble dénombrable est vide

Je suppose que ton ensemble dénombrable est inclus dans quelque chose (du genre R). Parce que l'intérieur de N vu comme espace topologique, c'est pas vide...

[ThSQ]

2- Montrer que l'intersection de 2 ouverts denses est dense
3- Montrer que l’intérieure d’un ensemble dénombrable est vide

Sans autre hypothèse le 3- est faux (mettre n'importe quelle topologie sur un ensemble dénombrable).

Le 2- est vrai : tout ouvert rencontre U ou V en deux ouverts (intersection de deux ouverts) et on prend l'intersection de tout ça (qui est non vide).

[charlol]

Aie Aie Aie ...
Bon je suppose qu'il sagit d'un espace vectoriel normé deja... (en effet ca change tout si c'est par ex un espace métrique ou topologique)

Pour la 1)
int(A) U int(B) C int(AUB) ceci est toujours vrai
en effet soit x€ int(A) U int(B) alors il existe (a,b)€IR*+, B(x,a)C A
ou B(x,b)C B
donc B(x,a)C AUB donc x€int(AUB)

-Montrons alors que int(AUB) C int(A) U int(B) :
soit x€ int(AUB)
alors il existe e€IR*+, B(x,e)C (AUB)

supposons que x ne soit ni dans int(A) ni dans int(B), alors
pr tt m€IR*+, il existe y€B(x,m) tel que y n'appartienne pas a A
alors pour tt mpr tt n€IR*+, il existe z€B(x,n) tel que z n'appartienne pas a B
alors pour tt m
et alors pour tt k(=min(e,m,n)€IR*+, B(x,k) inter B est non vide
inter A est non vide
inter (non B) est non vide
inter (non A) est non vide
donc x€ Fr(A) inter Fr(B) or d'apres l'hypothese l'intersection est vide ...
(j'utilise une caractérisation de la frontiere ici, mais justement celle ci n'est pas valable en espaces métriques et topologiques par ex )
d'ou la contradiction, donc x est dans int(A) ou int(B).

2)
Soit x€ E,
Mq pour tt e€IR*, B(x,e) inter (A inter B)est non vide :

soit e dans IR*+, B(x,e/2) inter A est non vide (car A est dense dans E)
soit y dans B(x,e/2) inter A
il existe a dans IR*+, B(y,a)C A car A est ouvert
B est danse dans E et y€ E donc pour tout b€IR*+, B(y,b) inter B est non vide
en particulier pour tout b=min(e/2,a) et on a alors un élement qui appartient a A et a B donc a A inter B
cad qu il existe x' dans A inter B tel que x'€B(x,e)
en effet ||x'-x||=||x'-y+y-x||<||x'-y||+||y-x||<2*e/2=e

Ainsi A inter B est dense dans E.

3) Alors la il faut vraiment + de précisions, je ne sais meme pas si avec un corp associé a ton espace vectoriel bien choisit, on n'aurait pas un espace dénombrable...
lemniscate a dit"Or chaque {x_{j}} a un intérieur vide" c'est justement la qu'est la difficulté!
Dans le cas d'un IR-espace vectoriel je dirais que :
supposons que int(E) n'est pas vide, soit x€ int(E)
alors il existe e € IR*+, B(x,e)C E
or dans cette boule il y a {kx,0< k-1en effet alors ||kx-x||=||x(k-1)||=(k-1)||x||or {kx, 0
Voila j'espere ne pas avoir dis trop de bétises :id:

Charlol

[Lemniscate]

lemniscate a dit"Or chaque {x_{j}} a un intérieur vide" c'est justement la qu'est la difficulté!

Si on munit E de la topologie discrète, ca pose problème effectivement... Mais dans le cas contraire, où cela pose-t-il problème ?

Sinon j'ai pas regardé à fond les démos de 1°/ et 2°/ mais elles me paraissaent tout à fait correctes...

Pour la 3°/ je l'ai bien regardée, elle me semble juste également.

En fait je ne voulais pas utiliser les éléments pour les questions 1 et 2 et juste rester sur les règles des opérations ensemblistes mais soit c'est trop dur (pour moi) soit il me manque certaines de ces règles...

Voilà merci charlol parce que je ne voyais pas comment résoudre ce problème.

[ThSQ]

Perso je trouve que ces raisonnements avec des boules font perdre le fil directeur (avis tout personnel).

Pour le 2- :
U et V deux ouverts denses de X.
W un ouvert non vide de X. est un ouvert non vide (bicoze U dense) donc rencontre V (bicoze V dense). Donc W rencontre qui est donc bien dense.