Condition sur la frontière d'un ouvert de R^n

[Robot]

Il ne peut bien entendu pas être question de preuve ici.
Pour moi, c'est clair que pour il s'agit du volume-dimensionnel dans . Et vu le dans la condition pour l'intersection avec une boule de rayon , je pense effectivement que et qu'il s'agit d'une aire.
Mais je crains qu'on ne sache jamais le fin mot de l'histoire parce que que les fils précédents montrent que Sarra-sonia est avare de précisions sur les tenants et aboutissants de ses questions.

[Ben314]

Il ne peut bien entendu pas être question de preuve ici.

Alors qu'est ce qui te permet d'être catégorique ?

Il ne s'agit clairement pas de la mesure de Lebesgue sur l'espace ambient.

[Robot]

Tout simplement que je comprends à peu près (modulo toutes les imprécisions de Sarra_sonia) ce que signifie la condition avec l'interprétation que j'ai expliquée du "mes", et que ça me paraît être la seule façon de donner un sens raisonnable à cette condition.
Je vois la condition comme exprimant une certaine régularité du bord (il n'est pas trop plissé, on peut uniformément borner l'aire de son intersection avec une boule de rayon par rapport à l'aire d'un disque de rayon ).
Tu as une meilleure interprétation ?
Je me demande un peu ce qui t'arrive (ici et dans l'autre fil sur les espaces vectoriels). Je t'énerve vraiment tant que ça ?

[alm]

@Robot: Je crois que Ben314 ne parlait pas de toi car c'est moi qui avait parlé de longueur etc...il a de plus utilisé un 'vous', donc apparemment, il a raison de faire la remarque, essayons de lui expliquer doucement ce qui s'est passé.

Visiblement vous faites comme s'il s'agissait d'une mesure de longueur

Si tu fais allusion à mon intervention ci-dessus, alors non, je ne voulais pas dire qu'il s'agissait d'une longueur: Dans cet exemple précisément, oui , mais si j'avais lieu à un exemple similaire en dimension 3, dont un fragment est illustré par la figure ci-dessous, j'aurai plutôt à mesurer des surfaces (partie colorée en vert)...



Bref, loin de toute généralisation, je voulais juste montrer à Robot, par le biais d'un exemple particulier(plan), le caractère non borné d'une telle mesure (non pas l'existence d'une telle mesure car j'ai remarqué que Robot parlait de localement mesurable : il l'est dans mon exemple : une infinité de segments de droites contigus... Le problème provient plutôt du fait que pour une boule centrée en , on peut rester en pleine boule mais avoir une infinité de segments , donc une série qui n'est pas forcément convergente ...).
Sinon s'il y a quelque chose qui généralise ça serait des mesures associées aux formes volumes ( on peut jeter un coup d'œil ici, sans vouloir entrer dans les détails car l'énoncé de l'exercice comme on le remarque tous laisse à désirer ...

[Robot]

Une précision : quand je parlais de localement mesurable, c'était pour le volume dimensionnel (la longueur pour ). C'est ce que j'ai en tête depuis le début, parce que ça me semble coller avec une condition sur le bord d'un ouvert de .
Je n'ai sans doute pas été assez précis.

[alm]

OK Robot et merci pour ce retour. On attends que l'auteur initial donne plus d'explications sur le sujet.

[Sarra_sonia]

Merci pour vos réponses et suggestions.

Effectivement, c'est une condition pour donner une certaine régularité pour la frontière du domaine,
moi j'ai supposé que c'est pour dire que l'intersection de la frontière avec une boule de rayon
est bornée! mais la chose que je ne comprends pas c'est le qui intervient ici!!

PS: Je me souviens pas bien, mais peut être le n est pris égale à 3.

[Robot]

PS: Je me souviens pas bien, mais peut être le n est pris égale à 3.

Ce n'est pas sérieux ! Si tu cherches des éclaircissements, donne exactement la condition et le contexte. Là, tu te fous un peu de nous. On n'est pas ici pour jouer aux devinettes.

[Sarra_sonia]

Excusez-moi monsieur, c'est pas moi qui a mis cette condition!
En fait,
J'ai assisté à un exposé d'un chercheur et il a mis cette condition dans son travail.
selon lui c'est pour donner une certaine régularité pour la frontière du domaine!

Je voulais juste savoir l’interprétation de cette condition ni plus ni moins!

Merci quand même.

[Robot]

Je résume ce que j'ai déjà évoqué :
A mon avis, est un ouvert de , et la condition est qu'il existe une constante telle que pour tout de et pour tout l'aire de l'intersection de avec la boule de centre et de rayon est majorée par . Le ne sert absolument à rien, juste peut-être une réminiscence du fait que l'aire d'un disque de rayon est .
Je ne sais pas si Ben314 donnera son avis, il a l'air de bouder.

PS : et si tu veux vraiment savoir, tu connais le conférencier, tu peux retrouver son e-mail, tu lui poses directement la question. Simple, non ?

[Ben314]

Il me semble avoir déjà dit ce que j'en pensait : j'ai de gros doutes sur cette interprétation vu qu'elle demande d'avoir une définition de la notion de "mesure de l'aire" pour une partie de {\mathbb R}^3 qui peut être passablement "bizarre" :
- Soit on définit un nouveau truc très général du style (où est la mesure de Lebesgue sur ) mais dans ce cas ça m'étonne que Sarra_sonia n'ait pas noté que le "mes" avait un "nouveau" sens.
- Soit on se réfère aux trucs classiques de mesure de surface connus de tout le monde qui demande à ce que l'objet soit (plus ou moins) une variété de dimension 2 et dans ce cas, ça signifie qu'on suppose posséder une paramétrisation (au moins locale) de la frontière de , ce qui me semble extrêmement restrictif. En plus, dans ce cas, si on doit définir une notion de "régularité" de la frontière, ça parait bien plus simple de demander des conditions de régularité de la paramétrisation en question.

P.S. : c'était qui le conférencier ?

[Robot]

Ben314, je ne comprends pas bien tes arguments.
Quand tu dis que pour pouvoir avoir l'aire de , il faut "plus ou moins" que l'objet soit une variété de dimension 2, tu pousses un peu. On peut par exemple considérer le cas où est une surface algébrique avec des singularités aussi dégueulasses qu'on veut, on pourra tout de même calculer cette aire et je suis quasiment sûr que la condition telle que je l'ai formulée est alors vérifiée - au moins localement.
Par ailleurs, on peut imaginer une brave fonction continue de deux variables, différentiable en dehors de l'origine, suffisamment gentille pour qu'on puisse sans problème calculer l'aire de l'intersection du graphe avec une boule de centre l'origine de rayon , mais suffisamment plissée pour que cette aire soit linéaire et pas quadratique en .
Bien sûr je n'ai pas la preuve que j'ai bien interprété la condition de régularité mais au moins, telle que je l'ai formulée, elle tient debout et fait sens, ce que tu sembles contester.


Tu avais écrit dans ta première intervention :

Bref, j'aurais tendance à penser que le mes en question désigne la mesure de Lebesgue et que la condition en question est justement prévue pour caractériser les ouverts dont la frontière "est de dimension 1" (ou éventuellement "est de dimension <2").

Tu peux commenter ? Je ne vois pas bien comment un ensemble de mesure de Lebesgue non nulle, disons dans , peut être de dimension 1.

[Ben314]

Partant d'un ouvert de R^n, supposer que son bord est une surface algébrique (même pourrie), ça me semble "ni mieux ni pire" que de supposer que c'est une variété de dimensions 2 : c'est clairement extrêmement restrictif.
Et vu que la formule en question semble avoir été recopiée sans rien comprendre du sens qu'elle avait, donc éventuellement avec des erreurs, il me semblait éventuellement possible (*) que le symbole entre et ne soit pas une intersection mais une somme.

(*) Faire bien attention au fait que, contrairement à toi, je n'affirme absolument pas que c'est clairement de ça qu'il s'agit, mais c'est une possibilité qui permet d'éviter des hypothèse extrêmement restrictives sur la nature de la frontière.

De toute façon, je vois pas l'intérêt de discuter : soit on fini par savoir de qui est le laïus en question et on aura la réponse (donc il suffit d'attendre) soit Sarra_sonia ne nous dit rien de plus et on n'aura jamais la réponse.

[Robot]

Et vu que la formule en question semble avoir été recopiée sans rien comprendre du sens qu'elle avait, donc éventuellement avec des erreurs, il me semblait éventuellement possible (*) que le symbole entre et ne soit pas une intersection mais une somme.

Hum hum ... Tu veux vraiment me faire avaler que c'est ce que tu avais en tête quand tu as écrit ton premier message sur ce fil ? Ben il fallait un sacré don de divination pour s'en rendre compte.
Bon, admettons. Comment expliquerais tu alors que la majoration de la mesure de Lebesgue de (ah, au fait, comment la présence de ce peut-elle cadrer avec ce que tu racontes ?) par une constante fois caractériserait " les ouverts dont la frontière "est de dimension 1" (ou éventuellement "est de dimension <2")."
Tu n'as pas répondu là-dessus.

Franchement, Ben314, je trouve que ce que tu racontes ici n'est pas très sérieux, et ça me déçoit par rapport au reste de tes interventions.

Partant d'un ouvert de R^n, supposer que son bord est une surface algébrique (même pourrie), ça me semble "ni mieux ni pire" que de supposer que c'est une variété de dimensions 2 : c'est clairement extrêmement restrictif.

Là, c'est à la limite de la mauvaise foi. Je donnais cet exemple (de bord algébrique) pour expliquer que le fait d'avoir une mesure d'aire n'empêche pas que le bord puisse être très loin d'être lisse.

[beagle]

Toujours ce ton professoral pour donner des notes à des messages internet.
Tu n'as pas envie des fois de parler avec des gens et pas des copies?

[Robot]

Merci pour cette très intéressante contribution à la discussion. Quelque chose d'autre à dire sur le sujet ?

[beagle]

c'est fatiguant mais tu as bien appris les maths, on va essayer de t'apprendre les relations humaines, t'inquiète ...

[Robot]

Ecoute, relis le fil depuis le début et interviens si tu as quelque chose d'intéressant à dire sur le sujet. Sinon, dispense-toi de tes leçons de morale.
Et Ben314 est bien assez grand pour se défendre tout seul.

[beagle]

Tu parles mal à tout le monde,
les élèves se font vanner comme ils ne sont jamais innocents ça passe, c'est très limite mais ça passe.
Je pense que si tu parles ainsi c'est de notre faute, on ne te reprend pas pour te le dire.Alors tu ne t'en aperçois pas.
Donc j'espère qu'on sera plusieurs à te signaler les messages limites.
Pour ton bien .
Et pour le bien du forum.
Perso cela me stresse.
Et comme j'aime bien Ben314, je lis ses messages, même ceux que je ne comprends pas, et zut alors faut tomber sur ...

[Robot]

Que se passe-t-il ici ? On a une polémique mathématique avec Ben314 (si tu lis le fil, tu verras que c'est lui-même qui l'a lancée), je trouve que ses arguments ne valent pas tripette, et je veux bien reconnaître que je l'agresse à ce sujet. Mais, comme je l'ai déjà dit, Ben314 est assez grand pour se défendre tout seul et on n'a que faire de tes interventions intempestives.
Bon, je ne réinterviendrai plus dans ce fil que sur des sujets mathématiques.