Integration

[fabulous62]

bonjour à tous,
si vous avez un petit peu de temps, pourriez vous m'aider sur cet exercice ? merci bcp

Pour p appartenant à ]0, 1[, on pose
F(p) = int de 0 à +infini de : x^(p-1)/ x+1 dx

1) Montrer que F(p) est bien définie pour tout p appartenant à ]0, 1[ et que
F(p) = F(1 ;) p).
2) Montrer que F : p appartenant à ]0, 1[ -> F(p) est continue. Etudier le comportement en 0 et 1.
3) Montrer que F est C1 sur ]0, 1[. Que vaut F'?
4) Sans utiliser la question précédente, montrer que
F(p) = 1/p - 2p * somme de n=1 à +infini de: (-1)^n/(n²-p²)
· Indication:
on pourra se ramener à une intégrale sur [0, 1] et faire un dvpt en série entière.

[Joker62]

Voyons Fabien ! :D

La 1) c'est du bon sens :p

Intégrale à paramètre pour 2) et 3)

Et pour la dernière, voir exo 2 TD 5 sur les théorèmes de Convergence de Mr Buresi :D

[Joker62]

Re tous ! :)

J'me mords les doigts depuis 30 minutes à vouloir majorer par une fonction intégrable positive indépendemment de p cette fichue intégrande lol !

Pour l'instant, j'en suis arrivé au fait que pour x <= 1, on a |x^(p-1)/(1+x)| < 1/(x²(1+x))

Mais pas moyen de continuer pour x >= 1

C'est pour pouvoir utilisé le théorème de Continuïté des intégrales dépendant d'un paramètre :(
Merci bisous :p

[Joker62]

Hello Hello Rain'
Merci pour la réponse déjà :o

J'imagine que tu voulais dire 2-p > 1 pour la dernière (Puis critère de Riemann)

Mais donc le problème, c'est la fonction g, elle dépend toujours de p ( pour x >= 1 )
Pour démontrer la continuïté d'une fonction définie par une intégrale, on doit majorer l'intégrande par une fonction intégrable qui ne dépend pas du paramètre non ?

[Maxmau]

Hello Hello Rain'
Merci pour la réponse déjà

J'imagine que tu voulais dire 2-p > 1 pour la dernière (Puis critère de Riemann)

Mais donc le problème, c'est la fonction g, elle dépend toujours de p ( pour x >= 1 )
Pour démontrer la continuïté d'une fonction définie par une intégrale, on doit majorer l'intégrande par une fonction intégrable qui ne dépend pas du paramètre non ?

Et en se plaçant sur un intervalle compact inclus dans ]0,1[ ?
Comme ce sera vrai pour tout intervalle compact inclus dans ]0,1[ ….

[Joker62]

Ahhhh ok donc on prend le p dans un compact [a;b] et on majore ou on minore selon ce qu'on veut et donc à fortiori vrai sur )]0;1[ j'te remercie ;)
Je voulais prendre x dans un compact au début je comprenais plus rien lol :D

Gros bisous à vous deux :)

[fabulous62]

Bon ben on va abandonner lol
++