L'opérateur
, c'est juste l'espérance (souvent notée simplement E).
 = \int_\Omega X d P)
Sinon, voici la démonstration ce ce que j'avance.
Notons
 = \mathbb{E}(\min(|X-Y|,1)))
.
Le fait que ce soit une distance est facile. (Séparation à un "p.s." près.)
Soit
_{n\ge 0})
suite de v.a. (ou applications mesurables) convergeant en proba vers Y.
Avec les notation de Sandrine,
 \le \varepsilon + P(E_{n,\varepsilon}))
, et ce pour tout
Il suffit de couper l'intégrale en une intégrale sur
et une intégrale sur son complémentaire.
Il est donc clair que
 \to 0)
Réciproquement, montrons la contraposée. Supposons
 \not\to 0)
.
Comme
 \ge \varepsilon P(E_{n,\varepsilon}))
,
)
ne tend pas non plus vers zéro.
Maintenant, passons à la propriété de Sandrine.
Si
tend vers Y p.s.,
)
tend vers zéro p.s. et est dominé par 1. Par convergence dominée,
\to 0)
. Donc
tend vers Y en proba.
Tu vois, je ne t'avais pas menti, ce n'est pas compliqué. Note que cette démonstration de 2 ligne n'utilise que la réciproque de la proposition précendente qui tient aussi en deux lignes, et même pas le fait que ce soit une distance, soit quatres lignes en tout. Alors que la démonstration que tu proposait montre un résultat beaucoup plus fort, donc la démonstration est plus compliquée !
