Intégration

[legeniedesalpages]

Bonsoir j'ai un souci avec cet exo:

Soit

1) Justifier la mesurabilité de dans .

2) Justifier l'existence dans de l'intégrale et déterminer la valeur de cette intégrale.

Bon pour la 1) c'est ok.

Pour justifier l'existence de l'intégrale, je dis que définie par , est continue sur et mesurable, donc est mesurable.

De plus , est intégrable sur .

D'après le théorème de Fubini, on a alors :

,

avec

;

.


donc

,

je calcule ensuite ,

et je trouve .

Donc ,


et là je ne vois pas vraiment comment calculer ,

merci pour vos indications.

Edi: je me suis trompé sur la fonction g donnée , je corrige.

[legeniedesalpages]

ça à l'air de partir dans des longs calculs, je croiis que je vais plutôt essayer en passant par les coordonnées polaires.

[legeniedesalpages]

est-ce que dans la frontière d'un ensemble fermé est -négligeable.

Parce que pour le théorème du changement de variables, il faut travailler avec un -difféomorphisme défini sur un ouvert , et là est fermé donc il ne peut pas être image par de , non?

[ThSQ]

est-ce que dans la frontière d'un ensemble fermé est -négligeable.

Je vois pas pourquoi. Si tu prends, dans IR, E = un ensemble fermé d'intérieur vide et de mesure non nulle (un Cantor de mesure non nulle). E² a les mêmes propriétes il me semble (ie fermé, d'intérieur vide et de mesure non nulle)

[legeniedesalpages]

ah oui c'est vrai, merci ThsQ.

[Lierre Aeripz]

(un Cantor de mesure non nulle)

Peux-tu détailler ?

[ThSQ]

Peux-tu détailler ?

Dans le Cantor habituel on coupe les cheveux, euh non les intervalles, en trois parties égales, si on coupe autrement on peut avoir un ensemble ayant les mêmes propriétés topologiques mais avec une mesure que l'on peut choisir comme on veut dans [0;1]

[Lierre Aeripz]

Ok, je vois !

[legeniedesalpages]

est-ce que dans la frontière d'un ensemble fermé est -négligeable.

Parce que pour le théorème du changement de variables, il faut travailler avec un -difféomorphisme défini sur un ouvert , et là est fermé donc il ne peut pas être image par de , non?

Je ne vois toujours pas comment on peut utiliser le théorème du changement de variable, pour passer en coordonnées polaire, alors que les hypothèses ne semblent pas vérifiées?

il faudrait que A soit ouvert pour pouvoir passer en coordonnées polaire, non?