Intégration

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur cet exo:

Soit une suite de fonctions de dans intégrables sur et convergeant -pp sur vers une fonction .

1) On suppose qu'il existe tel que pour tout on ait . Est-il vrai que soit intégrable sur et vérifie ?

Dans la correction, le prof dit que non et prend comme suite de fontions .

On a alors quelque soit ,

et cette fonction tend simplement vers

.

Mais je ne vois pas comment on peut montrer que n'est pas intégrable.

Merci pour vos indications.

Edit: que je suis bête je viens de trouver:

Si serait intégrable, alors le serait aussi, ce qui est absurde.

:stupid_in

[tize]

Bonjour,
pour compléter, quand on dit que f est intégrable, cela veut dire

[legeniedesalpages]

Bonjour,
pour compléter, quand on dit que f est intégrable, cela veut dire

vi, enfin ici c'est pas à titre de définition (c'est perturbant d'avoir deux cours quasiment pareils mais avec des choix de définitions différentes )

Le prof a voulu définir tous les objets en termes de fonctions en escalier.

[legeniedesalpages]

2) On suppose qu'il existe un réel tel que pour tout on ait .

a) Montrer que f est intégrable sur et vérifie . (Appliquer le lemme de Fatou).

b) Est-il vrai que l'on ait ?

c) Est-il vrai que l'on ait ?

Pour la a) vu que est limite -pp de , puis-je dire que ?

[tize]

oui car presque partout fn(x) -> f(x) et quand une suite converge alors sa limite inf est égale à sa limitesup qui est égale à la limite.

[legeniedesalpages]

d'accord, merci Tize, du coup c'est quasi direct.

[tize]

d'accord, merci Tize, du coup c'est quasi direct.

oui mais attention, fatou c'est pour les fonctions mesurables positives il faut l'appliquer à |f_n|...

[legeniedesalpages]

oui c'est ce que j'étais en train de me dire, c'est pas du tout direct :briques: .

Comme d'habitude, j'ai montré que est intégrable mais pas que est intégrable.

[tize]

je ne comprends pas où est ton problème, f intégrable cela veut justement dire que |f| est intégrable (d'intégrale finie)...

[legeniedesalpages]

D'après le lemme de Fatou,

est intégrable sur et

[CENTER][/CENTER]

or -pp, car -pp,

donc est intégrable sur et (1) équivaut à dire que

[CENTER], [/CENTER]

d'où .

Mais là je vois pas comment montrer que f est intégrable, je vais essayer de faire plutôt fatou à et à .

[tize]

il me semble que par définition : or et donc ....
mais de toute façon je répète : intégrable veut dire par définition

[legeniedesalpages]

je ne comprends pas où est ton problème, f intégrable cela veut justement dire que |f| est intégrable (d'intégrale finie)...

Mon problème que dans ce cours d'intégration c'est dit nulle part, et ce fait est jamais utilisé (on a deux UE d'intégration semestre il y en a une où on utilise ta définition, et les résultats sont exprimés de la même façon que dans le Le Gall, et dans l'autre UE, c'est bizarroïde, on part de l'intégration de Riemann, on tombe sur l'intégration de Lebesgue, on parle ensuite des théorèmes de convergence habituels et Fubini, on refait ensuite toute l'intégration sur des ensembles mesurables à la place de et on redit tous les résultats donnés juste avant dans )

Ici une fonction positive est intégrable si elle limite presque partout d'une suite de fonctions en escalier où . est majorée.

si où sont des pavés bornés deux à deux disjoints.

[tize]

Ah d'accord..pas de bol...sinon Le Gall c'est quoi ? un ersatz de café ?

[legeniedesalpages]

Ah d'accord..pas de bol...sinon Le Gall c'est quoi ? un ersatz de café ?

lol non, il me semblait que tu connaissais, vu le nombre de fois que quelqu'un met un lien sur son cours dans le forum:

la photo: http://www.dma.ens.fr/~legall/

son cours: http://www.dma.ens.fr/~legall/IPPA2.pdf

:lol2:

[tize]

Ah oui d'accord, merci j'avais déjà vu mais je n'avais pas noté le nom...moi à l'époque je bossais plutôt avec Briane&Pagès ou Rudin(analyse réelle et complexe)...

[legeniedesalpages]

Ah oui d'accord, merci j'avais déjà vu mais je n'avais pas noté le nom...moi à l'époque je bossais plutôt avec Briane&Pagès ou Rudin(analyse réelle et complexe)...

oi le briane&pages tu me l'avais déjà conseillé, il a complété ma blibliothèque, il m'a déjà servi pour la présentation de la mesure de Lesbesgue qui est assez bien expliqué (et où beaucoup de résultats étaient admis en cours).

Après j'ai pas eu beaucoup eu l'occasion de m'en servir plus. Enfin de toute j'ai un peu de mal à exploiter les bouquins, ça me perturbe en général j'ai du mal à faire la connexion avec le cours, à part pour le choquet en topologie ou pour me faire des rappels sur les cours niveau L1/L2.

[legeniedesalpages]

2) On suppose qu'il existe un réel tel que pour tout on ait .

a) Montrer que f est intégrable sur et vérifie . (Appliquer le lemme de Fatou).

b) Est-il vrai que l'on ait ?

c) Est-il vrai que l'on ait ?

Pour la a) vu que est limite -pp de , puis-je dire que ?

bon en fait pour montrer que f est intégrable j'ai utilisé le fait que est intégrable sur IR, en montrant comme pour que est intégrable sur IR.

Par contre je plante pour la b) et la c).

Vu que c) => b), je pense qu'on doit pas avoir b), mais on doit avoir c), mais je ne trouve pas de contre-exemple pour la b) :hein:

[legeniedesalpages]

Je crois que j'ai trouvé un contre-exemple pour la b),

par exemple si je prends , la limite est .

On a pour tout , et

[tize]

et c'est aussi un contre exemple pour la c) ...

[legeniedesalpages]

oui effectivement, merci Tize.

:)