Intégration

[marawita1]

Bonsoir,
J'ai une question:

Pourquoi toute fonction g (A_f, B(R) )-mesurable s'écrit comme g= h o f


avec h est (B(R), B(R)) - mesurable, où A_f= { f^{-1} (B), B dans B(R)}: tribu engendrée par f

B(R): tribu borélienne de R.

J'ai essayé comme suivant:

Si g est étagée, c'est bon

Maintenant si g est mesurable quelconque, on a bien g(x)= lim g_n (x) avec (g_n) est une suite des fonctions étagées

Donc g_n = h_n o f et par suite g(x)= lim ( h_n o f) (x) avec h_n sont boréliennes.

Apres je ne sais pas choisir h ????????

[Ben314]

Salut,
Je suis pas certain de comprendre à 100% les notations, mais je pense que c'est O.K.

Après, concernant la mesurabilité au sens B(R)->B(R) de la fonction h, ça me semble assez évident, et au pire, on regardera après avoir déterminé qui est la fonction h.
Par contre, vu que f n'est pas supposée bijective, ce qui ne semble pas évident du tout, c'est l'existence d'une fonction h (quelconque, c'est à dire sans se préoccuper de la mesurabilité) telle que g=hof :
De façon plus précise, vu que f n'est pas supposée injective, il risque d'exister x1 distinct de x2 tel que f(x1)=f(x2) et, évidement, pour qu'il existe h telle que g=hof, il faut absolument que g(x1)=g(x2).
Jusque là, je pense que tu t'en sort en démontrant que le fait que g est A_f ; B(R) mesurable va impliquer que g(x1)=g(x2) lorsque f(x1)=f(x2) (car tout ensemble A_f mesurable contenant x1 contient forcément x2).
Sauf erreur, ça te permet de construire une unique fonction h définie sur f(R) (et pas sur R tout entier) telle que g=hof.
Reste à voir si on peut prolonger h à R tout entier et obtenir un prolongement qui soit B(R);B(R) mesurable.

As-tu essayé dans cette voie là ?
Je précise que je ne sais pas si c'est la bonne approche ou s'il faut, comme tu as commencé à le faire, approximer par des fonction en escalier : si j'ai le temps, je regarderais (mais là, je l'ai pas...)

[marawita1]

Bonsoir,

J'ai trouvé une correction de cet exercice : il a pris h comme la limite de h_n si elle existe , 0 si non

Mais je ne comprends pas pourquoi cette fonction h vérifie g= ho f (surtout dans le cas où la limite de h_n n'existe pas )

[Ben314]

Ben, c'est complètement couillon... :
Pour tout , et tout , par définition de on a donc la suite c'est la même que et elle converge vers .
Ce qui signifie que .

Et ça signifie aussi que les seuls (éventuels) tels que la suite n'est pas convergente sont des donc qui n'ont aucune influence en ce qui concerne .

[marawita1]

Ben, c'est complètement couillon... :
Pour tout , et tout , par définition de on a donc la suite c'est la même que et elle converge vers .
Ce qui signifie que .

C'est clair ici

Et ça signifie aussi que les seuls (éventuels) tels que la suite n'est pas convergente sont des donc qui n'ont aucune influence en ce qui concerne .

Franchement je n'ai pas compris!!!! Si h=0 ça donne que g=0, non? qui n'est pas le cas

[Ben314]

Dans la première partie, ce qu'on montre, c'est que, si y=f(x) pour un certain x, alors la suite (hn(y)) est obligatoirement convergente.

Donc, par contraposition, si la suite (hn(y)) n'est pas convergente, c'est que y ne peut pas s'écrire y=f(x).
Et dans ce cas, la valeur de h(y) n'a aucune influence sur la véracité de la formule g=hof(y).
Par exemple, si tu cherche une fonction h telle que, pour tout x dans R, on ait cos(x)=h(x²) alors la valeur de h(-1), tu en as rien à f... et en fait, tu peut prendre n'importe quoi vu que pour évaluer h(x²), il suffit de connaitre les h(y) pour y>=0.