Integration

[Maths-ForumR]

Bonjour
Je bloque sur le changement de variable d'une integrale :


Montrer que ;) de (+;) à a) de (sin^3 (x))/x² dx = ;) de (+;) à 3a) de sin(3x)/x² dx

J'ai posé :u=3x
avec
du =3 dx
dx = du/3

Pour les bornes :
quand x=+;) ; u=+;)
quand x=a ; u=3a

Pour le fonction
[(sin^3 (x))/x²] . dx = [(sin^3 (u/3))/(u²/9)] . du/3 = [3.(sin^3 (u/3))/u²] . du

De plus on sait que sin (3x) = -4sin^3(x) + 3.sin(x)


Mais en calculant je retombe sur : (1/4) . [sin(x)-sin(3x)/x²]

Pouvez vous m'aider
Merci

[Black Jack]

Je triche ... ou plus exactement je me méfie

Je fais donc calculer les intégrales par Wolfram ... en choisissant a = 1 (par exemple)

Les résultats donnés par Wolfram sont :

;) de (+;) à 1) de (sin^3 (x))/x² dx = -0,432493

et

;) de (+;) à 3) de sin(3x)/x² dx = 0,0286698

Et je conclus que l'énoncé est faux ...

:zen:

[Maths-ForumR]

Et si je dois montrer que ;) de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx = ;) de (+;) à 3a) de 3sin(x)/x² dx ça marche ?

[MouLou]

La y'a pas besoin de Wolfram pour dire que ca marche oui :D

[Maths-ForumR]

Mais avec un changement d'indice je n'arrive pas a retrouver l'égalité

[MouLou]

vérifie, u=3x marche

[Maths-ForumR]

pour les bornes je trouve (+00 ; 3a) mais pour la fonction Je trouve : (sin(u)/u²) du donc je n'arrive pas à retomber dessus

[aymanemaysae]

Je dis qu'il est très difficile d'arriver à avoir l'égalité demandée sans l'utilisation de la fonction gamma incomplète: j'aurai raison sauf si l'un des professeurs qui encadrent les discussions sur ce site ne dit le contraire.
Ce que j'ai trouvé à l'aide d'une application est comme suit:
primitive de sin(3x)/x^2 = 3/2 (Gammaincomplète(-1,-3ix)+Gammaincomplète(-1,3ix))
et primitive de sin(x)/x^2 = 1/2 (Gammaincomplète(-1,-ix)+Gammaincomplète(-1,ix)),
ce qui donne l'égalité recherchée.

[MouLou]

u=3x donc x=u/3, donc x^2=u^2/9 et dx=du/3, ce qui fait sortir un facteur 3 au final non? ou alors jsuis rouilllé sur les chgt de variable :)

[fibonacci]

Bonjour;

en développant les égalités:

[Maths-ForumR]

Mais je parts de l'intégrale de (a à +00) de ( 3sin(x)/x^2 ) dx et je dois retomber sur l'intégrale de (3a à +00) de ( 3sin(x)/x^2 ) dx

[Black Jack]

Mais je parts de l'intégrale de (a à +00) de ( 3sin(x)/x^2 ) dx et je dois retomber sur l'intégrale de (3a à +00) de ( 3sin(x)/x^2 ) dx

A chacun de tes posts, l'égalité à démontrer est différente, celle de ce post-ci est fausse.

Par contre celle où tu as écrit :

Et si je dois montrer que de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx = de (+;) à 3a) de 3sin(x)/x² dx ça marche ?

est correcte.

de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx

Poser 3x = t
dx = dt/3

de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx = de (+;) à 3a) de (sin (t))/(t²/9) dt/3

de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx = de (+;) à 3a) de (3.sin (t))/t² dt

et donc on a bien : de (+;) à a) de (sin (3x))/x² dx = de (+;) à 3a) de (3.sin(x))/x² dx

:zen:

[aymanemaysae]

Bravo M. Black Jack, vous avez démontré l'égalité qui nous a tant donné du souci, et en plus avec un changement de variable simple et qui crevait les yeux: pas comme moi qui ai utilisé une monstrueuse fonction Gamma incomplète et qui allé cherché du coté des intégrales de Boehmer (des chemins qui ne mènent nul part et surtout pas à un but qui est à deux mètre de chez soi.
Encore une fois, Bravo.

[MouLou]

La plus grande énigme était, et l est toujours: quelle égalité veut on montrer? L auteur en a effectivement demandé 3, dont 2 fausses et une qui se montre avc un changement de variables tout bête.