Intégration

[Ncdk]

Bonsoir,

J'aurai besoin d'aide pour 3 intégrales, j'ai fait quelques trucs mais j'ai besoin de votre avis.

1)

J'ai commencé par faire une IPP, j'ai pas eu de soucis, sauf à un endroit, je me retrouve à étudier la limite en l'infini de . Je sais que c'est 1, mais comment le prouver ? Un développement limité de à l'ordre 1 suffit ?

Ensuite et bien celle-ci diverge car sa limite est + infini, est-ce que j'ai juste ?

2)

J'ai commencé tout simplement par faire :

Je me pose maintenant cette question : est-ce que je peux faire un DL, genre faire un DL à l'ordre 2 de la fonction avec ?

J'avais testé, mais je crois que ça marche pas, j'ai du faire surement une erreur...

3)

Donc du coup on a :

La je vois pas, peut-être faire un changement de variable en posant mais je pense que c'est pas une bonne idée x)

[Pythales]

Bonsoir,

J'aurai besoin d'aide pour 3 intégrales, j'ai fait quelques trucs mais j'ai besoin de votre avis.

1)

J'ai commencé par faire une IPP, j'ai pas eu de soucis, sauf à un endroit, je me retrouve à étudier la limite en l'infini de . Je sais que c'est 1, mais comment le prouver ? Un développement limité de à l'ordre 1 suffit ?

Ensuite et bien celle-ci diverge car sa limite est + infini, est-ce que j'ai juste ?

2)

J'ai commencé tout simplement par faire :

Je me pose maintenant cette question : est-ce que je peux faire un DL, genre faire un DL à l'ordre 2 de la fonction avec ?

J'avais testé, mais je crois que ça marche pas, j'ai du faire surement une erreur...

3)

Donc du coup on a :

La je vois pas, peut-être faire un changement de variable en posant mais je pense que c'est pas une bonne idée x)

Il est normal que la 1) diverge, car équivalent à à l'infini
Pour la 2) une IPP devrait faire l'affaire.
Pour la 3) Poser (ça marche)

[Ncdk]

Pour la 2), je n'arrive pas avec l'intégration par partie, j'ai trop de limite à calculer, elles sont pas faciles donc j'ai du mal à aboutir...

[Robic]

Pour le 2) on peut voir facilement qu'il n'y a pas de problème en 0 (car ln(1-x²) ~ x², donc la fonction à intégrer est équivalente à la fonction 1). Il reste le problème en 1. La première méthode qui me vient à l'esprit est de poser h = 1-x, donc x² = (1-h)² et 1-x² = h(2-h). Si j'appelle f la fonction à intégrer entre A et 1 :

f(x) = ( ln h ) / (1-h)² + ( ln(2-h) ) / (1-h)².

C'est l'intégrale entre x=A et x=1, c'est-à-dire entre h=0 et h=1-A, du premier terme qui pose problème. Notons g(h) le premier terme, qui est positif.

Le dénominateur est = ln h. Or l'intégrale de ln h diverge en 0, donc de même pour celle de g(h).

Bref, ça m'air de diverger en x=1.

Erratum : l'intégrale de ln h converge en 0 ! Donc il faut noter que le dénominateur est >= (1-A)² qui est une constante positive, notons-la C, ainsi 0 <= g(h) <= 1/C ln h. Comme l'intégrale de ln h converge en 0, il en est de même de celle de g(h).

Bref, ça converge.

[Ncdk]

Bonjour,

Je sais que ça converge, je l'ai prouvé, mais bon quand on approche avec une calculatrice cette intégrale, elle tend vers -2ln(2)

Mais j'ai beau faire une IPP, des DL en 1 ensuite pour calculer les limites, je ne trouve pas ce résultat...

[chan79]

Bonjour,

Je sais que ça converge, je l'ai prouvé, mais bon quand on approche avec une calculatrice cette intégrale, elle tend vers -2ln(2)

Mais j'ai beau faire une IPP, des DL en 1 ensuite pour calculer les limites, je ne trouve pas ce résultat...

tu calcules une primitive par IPP, en deux fois, car ln(1-x²)=ln(1-x)+ln(1+x)
tu trouves

quand x tend vers 0, la limite est 0
quand x tend vers 1, la limite est -2ln(2)

par exemple
a comme limite 1 en 0

[Ncdk]

Je te remercie Chan, super merci, le coup du ln(1-x²) j'ai même pas vu... :/

[chan79]

Je te remercie Chan, super merci, le coup du ln(1-x²) j'ai même pas vu... :/

De rien
Pour la 3, tu peux voir ce que ça donne en dérivant