DM integration
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 13:09
Bonjour,
Voila, j'ai un DM à rendre et je plante déjà sur la première question:
soit A un polynome a coeficients réeels. Calculer
et déduire que:
 e ^{-t} e ^{itx} dt = \sum_{k=0}^{n}\frac{{A^{(k)}(0)}}{{(1-ix)^ {k+1}}})
ou
}{(0)})
désigne la keme dérivée du polynome A
Mon probleme est que je tombe sur
^ {(n+1)}})
donc je traine un factoriel que je ne devrais pas trouver dans la somme qu'il me donne!
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 14:16
Bonjour, :happy3:
Peut être qu'il faut utiliser le Développement de Taylor du polynôme
 $)
au voisinage de
:
 = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{A^{(k)}(0)}{k!} t^k $)
Es tu sûr de vouloir calculer :
 t^n e ^{-t} e ^{itx} dt)
ou bien
 e ^{-t} e ^{itx} dt)
?
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 14:27
barbu23 a écrit:Bonjour, :happy3:
Peut être qu'il faut utiliser le Développement de Taylor du polynôme
au voisinage de
:
Es tu sûr de vouloir calculer :
ou bien
?
En effet c'est la derniere que je veux calculer!
Désolé!
En fait je suis partie sur une intégration par partie et j'ai trouvé une relation entre
et
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 15:06
 e ^{-t} e ^{itx} dt = \int_{0}^{+ \infty} \Big( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{A^{(k)}(0)}{k!} t^k \Big) e^{-t} e^{itx} dt = ...)
Tu termines le calcul ... :happy3:
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 15:52
Merci beaucoup,
C'est dèja fait :hein:
Maintenant je coince ailleurs (La reprise est un peu dure )
Pour tout x réel:
 e ^{-t} cos(tx) dt= \frac {B(x^2)}{(1+x)^{n+1}})
Ou B(x) est un polynome détérminé de façon unique de degrés inferieur ou égal à n.
Je pars de:
 e ^{-t} cos(tx) dt = Re(\sum_{k=0}^{n}\frac{{A^{(k)}(0)}}{{(1-ix)^ {k+1}}} ))
 e ^{-t} cos(tx) dt = \sum_{k=0}^{n}Re\frac{{A^{(k)}(0)}}{{(1-ix)^ {k+1}}}))
 e ^{-t} cos(tx) dt = \sum_{k=0}^{n}Re\frac{{a_k k! (1+ix)^{k+1}}}{{(1+x^2)^ {k+1}}}))
ou les
sont les coefficients du polynôme
)
, ce qui nous amène à:
 e ^{-t} cos(tx) dt = \sum_{k=0}^{n}Re\frac{{a_k k! \sum_{j=0}^{k+1}(ix)^j}}{{(1+x^2)^ {k+1}}}))
 e ^{-t} cos(tx) dt = \sum_{k=0}^{n}\frac{{a_k k! \sum_{j=0}^{k+1}{\frac {(k+1)!}{(k+1-2j)(2j)!}}(ix)^{2j}}}{{(1+x^2)^ {k+1}}})
Cela dit j'ai l'impression de faire fausse route et que je n'arriverai pas à son résultat, surtout que je ne vois pas comment sortir le
^ {k+1})
de la somme!
:triste:
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 15:58
Moi, je préfère appliquer la formule :
 = \frac{1}{2} ( e^{itx} + e^{-itx} ) $)
, puis remplacer dans lintégrale, et déduire les résultats, à partir des questions précédentes. C'est plus simple comme ça, non ?
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 16:45
barbu23 a écrit:Moi, je préfère appliquer la formule :
, puis remplacer dans lintégrale, et déduire les résultats, à partir des questions précédentes. C'est plus simple comme ça, non ?
Merci, c'est dèja beaucoup mieux! mais j'arrive au résultat suivant:
 e ^{-t} cos(tx) dt = \sum_{k=0}^{n}\frac {A^k(0)\sum_{j=0}^{k+1} C_j^{k+1}(-x^2)^j } {(1+x^2)^ {k+1}})
(1-x^2)^{k+1}}{(1+x^2)^ {k+1}})
Et rebelotte :bad:
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 19:28
prepsain a écrit:Merci, c'est dèja beaucoup mieux! mais j'arrive au résultat suivant:
Et rebelotte :bad:
IL n y a personne?
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 19:43
Le calcul que tu as fait est un peu moche, par contre celui que je t'ai proposé est facile à digérer.
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 19:47
barbu23 a écrit:Le calcul que tu as fait est un peu moche, par contre celui que je t'ai proposé est facile à digérer.
Merci Barbu23 mais justement je suis parti de ta suggestion et c'est la ou jatterris!
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 19:49
prepsain a écrit:Merci Barbu23 mais justement je suis parti de ta suggestion et c'est la ou jatterris!
 e ^{-t} \cos ( tx ) dt = \frac{1}{2} \Big( \int_{0}^{+ \infty} A (t) e^{-t} e^{itx} + \int_{0}^{+ \infty} A (t) e^{-t} e^{-itx} \Big))
 e^{-t} e^{itx} + \int_{0}^{+ \infty} A (t) e^{-t} e^{it( -x) } \Big))
avec :
et
 e ^{-t} e ^{it(-x)} dt = \sum_{k=0}^{n}\frac{{A^{(k)}(0)}}{{(1-i(-x))^ {k+1}}} = \sum_{k=0}^{n}\frac{{A^{(k)}(0)}}{{(1+ix)^ {k+1}}})
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 19:57
barbu23 a écrit:non ?
Si exactement!
 e ^{-t} \cos ( tx ) dt =\frac{1}{2}(\sum _{k=0}^n \frac{A^k(0)}{(1+ix)^{k+1}}+\sum _{k=0}^n \frac{A^k(0)}{(1-ix)^{k+1}}))
En avançant le calcul j'arrive a la somme qu'il y a dans mon précédent post!
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 20:19
prepsain a écrit:Si exactement!
En avançant le calcul j'arrive a la somme qu'il y a dans mon précédent post!
En gros
}{(1+ix)^{k+1}}+\sum _{k=0}^n \frac{A^k(0)}{(1-ix)^{k+1}})=\frac{1}{2}(\sum _{k=0}^n \frac{A^k(0)[(1-ix)^{k+1}+(1+ix)^{k+1})]}{(1+x^2)^{k+1}}))
je développe
^{k+1})
et
^{k+1})
avec la formule du binôme :mur: et je tombe sur le resultat que j'ai posté!
-
prepsain
- Membre Naturel
- Messages: 42
- Enregistré le: 31 Oct 2011, 14:51
-
par prepsain » 10 Sep 2012, 22:07
prepsain a écrit:En gros
je développe
et
avec la formule du binôme :mur: et je tombe sur le resultat que j'ai posté!
Bon je n'arrive toujours pas à trouver le bout de la ficelle, avec les deux méthodes (prendre la partie réelle) de l' intégrale précédente ou formule d'euler, je coince exactement au même endroit!
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 10 Sep 2012, 22:21
Moi aussi, je ne sais pas. :hum: :happy3:
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 139 invités
