[L1] Intégration

[benekire2]

Bonjour,

J'ai quelques soucis avec un ou deux questions concernant l'intégration (je débute) , je vous les soumets :

1. Pour tout p et q entiers positifs, on note
J'ai déjà montré dans l'exo que

Je dois montrer que

Et bien j'ai un peu cherché du côté du binôme au début, mais le k au dénominateur ruine mes espoirs, ensuite j'ai essayé de voir une somme de riemann , que dalle .. bref je ne vois rien :doh:

2. Je cherche tout les morphismes continus de groupe de (R+*,*) vers (R,+)

J'ai dû montrer que sur R*+

et je reste bloqué comme un con sur une question censée être immédiate :
en déduire que


Je vous remercie de votre aide :we:

[Nightmare]

Salut,

remarque que ! Ensuite on permute les deux symboles de sommation.

[Nightmare]

Pour 2. ce que tu as prouvé montre que f est dérivable, il ne reste plus qu'à dériver dans l'équation fonctionnelle !

[benekire2]

Salut nightmare :we:

Effectivement, c'est bien bête ... en plus en te lisant j'ai pris ça pour "l'astuce qui tue" mais en fait en regardant mon cours il est inscrit en gras que c'est un truc a connaître par cœur et qu'on retrouve partout .. :marteau:
Merci bien :++:

[benekire2]

Pour la 2 ok, c'était évidemment con, mais bon, comme ça je le saurais dorénavant !

Juste une petite "vérif" au passage :

Pour tout n entier strictement positif on défini sur [0,1] comme suit:

égale a 0 pour x=0 égale à 2n(1-nx) pour 0<x<1/n et nulle sinon.

On me demande de comparer et

Bon alors pour la première ça va, je calcule et je passe à la limite ok. Par contre pour le deuxième , je dois d'abord passer a la limite avant d'intégrer mais bon, comme mes bornes dépendent quand même de n c'est un peu bizarre , je vois pas comment je fais.

[Ben314]

Si je fixe un x dans ]0,1] et que je considère la suite Un=2n(1-nx) si 1/n>x et Un=0 sinon, tu en pense quoi de cette suite ? donc sa limite c'est quoi ?

[benekire2]

C'est donc bien ce que je pensais, cette suite est nulle a partir d'un certain rang et donc l'intégrale aussi , merci ben :we:

Peut être demain je poserais d'autres questions ( un peu moins con quand même) et je vois si d'ici là j'arrive pas a les solvater ( ou résoudre .. ) :id:

[benekire2]

Bonsoir,

Je reviens à la charge avec un petit exo qui m'embête,

Soit f une fonction définie au voisinage de 0, calculer

Je vois pas comment faire mais encore une fois ça doit surement pas être inhumain ..

Merci de votre aide :lol3:

[Ben314]

Salut,
En supposant f que f admette une limite lorsque x->0+, il devrait te suffire de faire un petit dessin pour voir la valeur du résultat...
(la "vrai" preuve est aussi trés simple)

Si f n'a pas de limite en 0+, ben... essaye quelques exemples et tu verra...

[girdav]

est-elle supposée continue?

[benekire2]

Bah avec f(0) existant ( ou une limite finie) je m'en sort en montrant que ça fait f(0) .

C'est quoi que tu appelle "sans limite" ? Lilmite infinie ? Vraiment sans limite ? Parce que avec une limite infinie en 0 je ne vois pas la preuve.

Merci ;)

[Pythales]

Nightmare, par curiosité, peux-tu me dire, dans la question 2 de l'énoncé initial, comment tu passes par dérivation de la 1ere expression de à la 2ème expression
Merci

[Nightmare]

Salut,

ce n'est pas l'expression avec l'intégrale qu'on dérive, mais l'équation fonctionnelle (f(xy)=f(x)+f(y))

[benekire2]

Salut a tous, pour le dernier problème que j'ai posé, qi la limite en 0 de f est l'infini alors on doit pouvoir montrer que la limite cherchée est l'infini. En revanche s'il y a pas de limite du tout, je ne vois rien,

[Pythales]

et où est précisée ladite équation fonctionnelle ?
(désolé de croiser mes questions)

[Ben314]

Pour l'infini, c'est O.K. (et le preuve est quasi la même que dans le cas d'une limite finie...)
Pour le cas où il n'y a pas de limite (la fonction n'arrête pas d'osciller lorsque x tend vers 0), on peut avoir un peu n'importe quoi.
Un (petit) challenge : peut tu trouver une fonction continue sur ]0,?], qui n'a pas de limite en 0 mais telle que g(x)= admette une limite en 0 ?

Pour Pythales : La phrase "Je cherche tout les morphismes continus de groupe de (R+*,*) vers (R,+)" signifie qu'on cherche les fonctions continues de R*+ dans R+ telles que, pour tout x,y de R*+, on ait f(x*y)=f(x)+f(y)

[Pythales]

OK.
Dans ce cas, l'indication de la 2eme expression de ne sert à rien.
Merci.

[benekire2]

Re ,

Oui la preuve est quasi la même en effet,

Pour ton mini "challenge" j'ai pas effectuer les calculs, mais il semble que x --> sin(1/x) convient ...

Bonne soirée !

[benekire2]

Bonjour, Je suis actuellement sur un problème concernant l'intégration comportant plusieurs questions.

On défini sur R/{-1,1} l'application
1. Justifier la définition de I. C'est ok.
2. Montrer que I est paire. Tout bon aussi.
3. Factoriser Jusque là tout roule.
4. Calculer en fonction de I(x), en déduire en fonction de I(x) pour n entier positif.

Alors ici déjà un problème, j'ai écrit que :



Faut-il faire un changement de variable ? (si c'est le cas je vois pas trop comment!) J'ai l'impression que pour la première partie de l'intégrale, on va pas pouvoir la transformer en un truc en fonction de I(x) ... sinon après pour I(x^2^n) ça se fait facilement si on trouve pour I(x²) bien sûr.

Je ne met pas les (3) questions suivantes, parce que tant que j'ai pas fait ça je peut pas savoir grand chose pour la suite.

Merci à vous :we:

[Nightmare]

Salut,

moi j'ai plutôt