Injectivité, surjectivité d'un endomorphisme

[chelsea-asm]

Bonjour,

Pour un exercice de DM j'ai un souci pour la méthode qui permet de démontrer l'injectivité, et surtout la surjectivité d'une application.

"A toute fonction f de E, on associe la fonction G définie par ->

On note T l'application de E dans E qui à f associe

On a montré que G est de classe
J'ai déterminé que lorsque , alors
On a montré que T est un endomorphisme de E.

T est-elle injective ? surjective ?

Je ne sais pas quelle méthode utiliser pour l'injectivité : ou
Pour la surjectivité, il me semble que la seule méthode (du moins la seule que je connaisse, est de montrer que (E étant l'ensemble d'arrivée).

Seulement je n'arrive à rien avec ces méthodes, juste à des conclusions du type f(x-1)-f(x+1)=0, ce qui ne me dit pas si f=0 par exemple...

Je vous remercie d'avance pour vos conseils !

Alex

[Skullkid]

Bonjour, attention au fait qu'on te demande si f est injective et/ou surjective, et non pas de montrer que f est injective et/ou surjective. Que penses-tu du fait que T(x -> cos(pi*x)) = 0 ?

Pour la surjectivité, il faut te demander si T(f) a des propriétés supplémentaires par rapport aux éléments de E. Par exemple, si T(f) était toujours périodique (je dis ça au hasard, n'y vois pas de lien avec l'exercice) et que E contient des fonctions non périodiques, alors T ne peut pas être surjective. Comme tu n'as pas précisé E (même si je pense deviner que c'est l'ensemble des fonctions continues sur R) je ne peux pas connaître la réponse.

[chelsea-asm]

Bonjour Skullkid, merci d'avoir répondu.

Le fait que T(x -> ) = 0 me fait penser que
Mais que cela peut-il m'apporter pour définir KerT ?

E est bien l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur R.

[Doraki]

Queveuxtu dire par "définir Ker T" ? Ker T il estdéjà défini c'est l'ensemble des fonctions telles que T(f) = 0.
Et tu veuxsavoir si ker T = {la fonction nulle} ou si il contient d'autrees trucs

[chelsea-asm]

Exactement, j'aimerais savoir si KerT = 0 ou s'il contient d'autres éléments pour dire si T est injective ou pas !

[Skullkid]

Oui, et donc, la fonction x -> cos(pi*x) elle serait pas dans Ker(T) par hasard ?

[chelsea-asm]

Oui, et donc, la fonction x -> cos(pi*x) elle serait pas dans Ker(T) par hasard ?

Eh oui en effet !!! Je suis pas très déductif pour ça je me mélange ^^

Merci pour les conseils

Pour la surjectivité, on m'a conseillé de faire une fonction H(x) = |x| et de montrer qu'elle n'a pas d'antécédent par T, sinon H serait de classe C1 ce qui contredirait que H n'est pas dérivable en 0.

Cela suffit-il ?

[Skullkid]

Oui, tu as montré que Im T ne contient que des fonctions C1. Donc toute fonction continue non dérivable est dans E mais pas dans Im T, donc T n'est pas surjective.

[chelsea-asm]

Désolé pour le retard de la réponse, mais je devais te remercier !

Bonne continuation ! A la prochaine.