Surjectivité et injectivité

[chipie01]

J'ai un dm a faire pour la semaine prochaine :

Soit E un ensemble et f une application de E dans E telle que f rond f rond f=f
Montrer l'équivalence suivante :
f injective de E dans E équivaut a f surjective de E sur E

Merci d'avance pour votre aide.

[Galt]

Bonjour
On sait que pour tout x, f(f(x))=f(x)
Supposons f injective. comme deux éléments distincts ont forcément la même image, f(x)=x et f est clairement surjective.
Supposons f surjective, et x, y deux éléments tels que f(x)=f(y). Il existe z tel que f(z)=x (puisque f est surjective), j'ai donc f(f(z))=f(y), soit comme fof =f, f(z)=f(y), donc x=f(y). J'obtiens donc que f(x)=x.
En faisant pareil avec z' tel que f(z')=y, j'aurai f(y)=y. Comme f(x)=f(y), j'ai bien x=y et f est surjective.

[sept-épées]

Galt a lu un peu vite la question : on suppose fofof=f et non fof=f...
Cela dit, ce n'est pas bien plus difficile :

si f est injective, pour tout x de E le fait que f(f(f(x)))=f(x) entraîne f(f(x))=x, et x est l'image de f(x) donc f est surjective.

si f est surjective, soient x et y deux éléments de E tels que f(x)=f(y). x et y ont des antécédents x' et y', qui vérifient fof(x')=fof(y') donc
fofof(x')=fofof(y') c'est à dire f(x')=f(y') donc x=y.