Matrice, rang, surjectivité, injectivité.

[mimix]

bonjour,
je n'arrive pas à comprendre pourquoi:

si f est une application linéaire de matrice M dans Mn,p(K), alors si le rang de M = n, ceci signifie qu'elle est surjective, et que si le rang de M = p, alors cela signifie qu'elle est injective.

merci beaucoup, mon incompréhension doit venir de la définition même de la surjectivité ou de l'injectivité... tout est confus :hum:

[arnaud32]

la matrice que tu considere est l'image d'une base de l'ev de depart dans une base de l'ev d'arrivee.
comment interpretes tu alors le rang de la matrice?

[Ben314]

Salut,
Tout vient... de la définition du rang :
Le rang d'une application linéaire (et donc d'une matrice), c'est la dimension de l'image.

a) Par définition, une application linéaire est surjective ssi son image est l'espace d'arrivé tout entier donc ...
b) Presque par définition, une application linéaire est injective ssi son noyau est réduit à {0} or on sait que, dans tout les cas, dim(Im(f))+dim(Ker(f))=dim(Espace de départ) donc...

[gdlrdc]

bonjour,
je n'arrive pas à comprendre pourquoi:

si f est une application linéaire de matrice M dans Mn,p(K), alors si le rang de M = n, ceci signifie qu'elle est surjective, et que si le rang de M = p, alors cela signifie qu'elle est injective.

merci beaucoup, mon incompréhension doit venir de la définition même de la surjectivité ou de l'injectivité... tout est confus :hum:

Pour la surjectivité, tu es d'accord que si l'image de f fait la même taille que l'ensemble d'arrivée, alors f est surjective? ce qui est le cas si rgf = n.
Pour l'injectivité, utilise le théorème du rg pour montrer que kerf = 0 lorsque rg f = p.