Algèbre linéaire : injectivité, surjectivité, exactitude

[nico2b]

Bonjour,

Voici l'énoncé auquel je bloque :

Soient U,V,W des K-espaces vectoriels et f : UV, g : VW des applications K linéaires.
On dit que la suite d'applications UVW est exacte si Im f = Ker g.

Q1 : j'ai su faire
Q2 : On note 0U l'application K-linéaire {}U donnée par et W0 l'application K-linéaire W{} donnée par w pour tout w W.
Soient : UV, : VW des applications K-linéaires.

Montrer que :
0UV exacte est injective

VW0 exacte est surjective


Voilà...
0U l'application K-linéaire {}U donnée par signifie-t-il bien qu'on envoi autant d'élément nul dans U?

On sait que pour que f soit injective il faut que Ker f = {}
f soit surjective il faut que Im f = U

Mais je ne vois pas comment m'y prendre pour montrer ceci...

Merci d'avance pour votre aide

[nyafai]

bonjour

l'application s'applique à un élément de l'espace vectoriel {} (en fait cet espace ne contient qu'un seul élément: ) a pour image un élément de l'espace vectoriel U :. Elle ne s'applique qu'à un élément donc:
)=
à partir de ça tu devrais y arriver mais j'espère avoir été clair
bonne chance :we:

[nico2b]

Avant tout merci pour l'aide...

Montrer que :
0UV exacte est injective

J'ai pensé à ceci mais je suis pas sur :

1)

On sait que Im( 0U) = est égale à Ker car exacte.
Donc Ker = {}={} d'où est injective.

2)

Comme est injective, on a que Ker = {}
Or, on sait que Im (0U) = {}={} = Ker .
D'où c'est exacte.

Suis-je suis la bonne voie?ou alors droit dans le mur lol :mur:

[nyafai]

c'est bon :we:

[nico2b]

c'est bon :we:

Super merci pour le coup de main :++:

[nico2b]

Montrer que :
VW0 exacte est surjective

J'ai du mal à prouver cette double implication...

()
Comme c'est exacte on peut donc dire que Im = Ker (W0)...
Il faut pouvoir montrer que Im = W mais avec ces informations je n'arrive pas à conclure

()
Comme est surjective, on a que Ker = W.
Et il faut prouver que Im = Ker (W 0)

Là aussi j'ai du mal à conclure... Im = W et on sait que W = Ker mais pour se rammener à
Ker (W 0) :help:


Merci pour l'aide

[fahr451]

bonjour

la deuxième application est l application nulle toutes les images sont nulles donc le noyau est l espace de départ W tout entier

la suite est exacte ssi l image de la première application = noyau de la deuxième donc ssi l image de béta est l 'espace d 'arrivée W donc ssi béta est surjective

[nico2b]

Merci...Donc pour voir si j'ai bien tout compri

()
Comme la suite d'application est exacte, on a que Im = Ker (W0).
Or, la deuxième application est l'application nulle donc toutes les images sont nulles et donc le noyau est l'espace de départ W tout entier...
On a donc Im = W qui est la définiton de surjectivité.

()
Comme est surjective, on a que Im = W.
Or, comme la deuxième application est l'application nulle donc le noyau est l'espace de départ W tout entier.
On a donc bien que Im = Ker(W 0) = W ce qui prouve que la suite d'application est exacte.

[fahr451]

oui
on peut même travailler par équivalence

[nico2b]

la suite est exacte ssi l image de la première application = noyau de la deuxième donc ssi l image de béta est l 'espace d 'arrivée W donc ssi béta est surjective

comme ceci alors?

En tt cas merci pour l'aide

[nico2b]

Je n'arrive pas à me lancer dans cette question :

On suppose que la suite d'applications
est exacte à chaque cran.
Montrer que V est finie si et seulement si U et W sont finies.

Quelqu'un pourrait m'éclaircir sur la notion de "dimension finie" car elle reste assez flou pour moi...