INJECTION

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Jubans
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INJECTION

par Jubans » 12 Jan 2019, 18:39


Bonsoir à tous.
J'aimerais trouver une injection de l'ensemble des parties de N (ensemble des entiers naturels) dans R (ensemble des nombres réels )
Des idées svp.



pascal16
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Re: INJECTION

par pascal16 » 12 Jan 2019, 20:06

n -> n

[edit] dsl, j'ai loupé le mot "parties"
Modifié en dernier par pascal16 le 12 Jan 2019, 22:16, modifié 1 fois.

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Re: INJECTION

par mathelot » 12 Jan 2019, 21:23

bsr,
une application de dansdéfinie par


on suppose que la partie P est indicée. Les entiers a_i sont écrits en base 2.
les a_i forment le développement en base 3 du réel f(P). Les deux ("2") servent d'intercalaires.
Modifié en dernier par mathelot le 12 Jan 2019, 21:52, modifié 1 fois.

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Re: INJECTION

par Jubans » 12 Jan 2019, 21:31

Je n'ai pas vraiment compris la définition de l'application f !

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Re: INJECTION

par mathelot » 12 Jan 2019, 21:57

Je l'ai complètement remaniée.
L'application f est définie par:
1) On considère une partie P de N.
Elle est ordonnée par la relation d'ordre >=
Les entiers , éléments de cette partie sont écrits en binaire.
2) ensuite on les concatène à la queue-leu-leu pour faire un développement "décimal" en base 3 d'un réel de (0;1). Les chiffres 2 servent d'intercalaires.

exemple:

0,02121021121002..... en base 3.
Modifié en dernier par mathelot le 12 Jan 2019, 23:41, modifié 4 fois.

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Re: INJECTION

par Jubans » 12 Jan 2019, 22:04

Et la suite ?

pascal16
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Re: INJECTION

par pascal16 » 12 Jan 2019, 22:20

si deux images sont égales :
avec les 2 en séparateur, tu sait qu'elles ont le même nombre d'éléments
avec l’écriture en binaire de chaque élément : tous les éléments sont identiques.

NB : {6,28}=110211100
2 est le séparateur
110 (base 2) = 6 (base 10)
11100 (base 2) = 28 (base 10)

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Re: INJECTION

par mathelot » 12 Jan 2019, 23:10

avec ces applications, on voit que l'ensemble des parties finies de est dénombrable
et est équipotent à (théorème de Cantor-Bernstein) et a donc comme cardinal la puissance du continu.

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Re: INJECTION

par mathelot » 13 Jan 2019, 00:01

pascal16 a écrit:si deux images sont égales :
avec les 2 en séparateur, tu sait qu'elles ont le même nombre d'éléments
avec l’écriture en binaire de chaque élément : tous les éléments sont identiques.

NB : {6,28}=110211100
2 est le séparateur
110 (base 2) = 6 (base 10)
11100 (base 2) = 28 (base 10)

là, tu ne traites que les parties finies. pour les parties infinies, on les injecte dans le développement des chiffres après la virgule.

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Re: INJECTION

par Jubans » 13 Jan 2019, 01:44

J'ai compris jusque là, mais je pige pas la dernière réponse de mathelot !

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Re: INJECTION

par mathelot » 13 Jan 2019, 02:10

Pascal ne se sert pas de l'écriture décimale avec des chiffres après la virgule. Ce qu'il a fait ne marche que pour les parties finies de N.

Jubans
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Re: INJECTION

par Jubans » 13 Jan 2019, 02:19

D'accord je vois !

Jubans
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Re: INJECTION

par Jubans » 13 Jan 2019, 10:30

Et comment cela fonctionne pour les parties infinies alors ?

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Re: INJECTION

par mathelot » 13 Jan 2019, 11:21

Pour les parties infinies, on 'injecte' leurs éléments dans un développement dyadique illimité ce qui donne un nombre entre 0 et 1.
Exemple: à la partie N={0,1,2,3..}, on associé le nombre 0,021210211210021012...qu on peut considérer en base 10 (au début du thread on le considérait en base 3), de cette façon on injecte P(N) dans l intervalle] 0;1[

pascal16
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Re: INJECTION

par pascal16 » 13 Jan 2019, 12:30

Je suis toujours impressionné par la pédagogie de Mathelot.

Jubans
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Re: INJECTION

par Jubans » 13 Jan 2019, 13:29

Moi aussi.

 

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