Injection de Q dans N

par **Victhemath** » 06 Déc 2013, 15:14

Bonjour, je dois exhiber une injection de

dans

. J'ai un exemple du cours où l'on me donne la fonction :

avec

sous la forme irréductible.

Quelqu'un peut m'expliquer ?

par **arnaud32** » 06 Déc 2013, 15:43

tu peux trouvrle detail ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_commutatif

par **Victhemath** » 06 Déc 2013, 15:46

Merci pour la réponse ! J'en ai désormais une autre :)

par **arnaud32** » 06 Déc 2013, 15:49

Victhemath a écrit:Bonjour, je dois exhiber une injection de dans . J'ai un exemple du cours où l'on me donne la fonction :

avec sous la forme irréductible.

Quelqu'un peut m'expliquer ?

tu verifie que ta fonction est bien a valeur dans N (ce qui est vrai car 1+sign(p) ; |p| et q sont positifs
ensuite tu verifie l'injectivite en regardant f(p/q)=f(r/s)
tu utilises le fait que 2, 3 et 5 sont premiers

par **Victhemath** » 07 Déc 2013, 17:13

Bonsoir. Pour montrer l'injectivité, je me retrouve avec ça :

=

Comment j'en viens à montrer que p/q=p'/q' ?

par **Victhemath** » 07 Déc 2013, 17:24

Je ne sais pas si on a le droit au double post ici mais je pose ma question :

Il y a dans mon cours, Q (ensemble des rationnels) n'est pas complet, il existe des parties bornées de Q sans sup. Quelqu'un peut-il me donner un exemple ?

par **jlb** » 07 Déc 2013, 18:57

{x rationnels/ x²=<2} doit convenir

par **Ben314** » 07 Déc 2013, 18:57

Oui,
Par exemple l'ensemble des rationnels positifs dont le carré est inférieur à 2.
Dans R la borne supérieur serait sqrt(2) et dans Q... y'en a pas..

Edit : grillé...

par **Victhemath** » 07 Déc 2013, 19:35

Merci pour l'exemple ! Et sinon pour mon injection, une idée ? :)

par **jlb** » 07 Déc 2013, 19:40

Victhemath a écrit:Merci pour l'exemple ! Et sinon pour mon injection, une idée ?

relis le message d'Arnaud32!!

par **Ben314** » 07 Déc 2013, 20:26

Victhemath a écrit:Merci pour l'exemple ! Et sinon pour mon injection, une idée ?

Tu utilise l'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers qui te dit que, si

alors on a obligatoirement

,

, ...

C'est en fait là toute "l'astuce" de la formule : avec une unique égalité entre deux trucs, tu en déduit une multitude d'égalités...

par **Victhemath** » 08 Déc 2013, 18:31

Ha oui, j'aurais du le voir ! Merci !

J'ai une autre question, il y a dans mon cour que une intersection infinie d'ouverts n'est pas un ouvert.
On me donne l'exemple de ]-1/n,1/n[ avec n E N\{0}

Quelqu'un pour me détailler l'idée ?

par **Ben314** » 08 Déc 2013, 18:34

Un réel x, il est dans l'intersection de tout tes ouverts, ssi il vérifie -1/n<x<1/n pour tout entier n.
Si tu fait tendre n vers l'infini, ça te dit que...

par **Victhemath** » 08 Déc 2013, 18:46

Par ce que x devient le singleton 0 et que ce n'est pas un intervalle ?

par **Ben314** » 08 Déc 2013, 19:05

Victhemath a écrit:Par ce que x devient le singleton 0 et que ce n'est pas un intervalle ?

Si on veut parler "carré carré", x est effectivement forcément nul donc l'intersection de tout tes ouverts est le singleton {0}.
Après, vu les définitions usuelles, il me semble qu'un singleton c'est bien un intervalle ({a}=[a,a]), mais pas un intervalle ouvert...

par **Victhemath** » 08 Déc 2013, 19:28

ok ! Merci Ben :)

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