Inéquation

[zaidoun]

Salut,
Je cherche l'ensemble des réels a, b et c vérifiant , pour tout

[capitaine nuggets]

Salut,
Je cherche l'ensemble des réels a, b et c vérifiant , pour tout

Salut !

A première vu, je dirais qu'il faudrais que doit permettre de conclure qu'alors .

Du coup, cet ensemble contient deux conditions : .
Cela implique également que .

Après, je ne saurais pas quoi dire de plus :triste:

[zaidoun]

oui ça est trivial :id: , mais je pense qu'il existe d'autres cas satisfaisant l'inéquation, j'aimerai trouver tous les cas possibles. :doh:

[BiancoAngelo]

Bonsoir :lol3:

Il faut une "grosse" disjonction de cas.

1°) D'abord, , on trouve que .

2°) , on a forcément (trivial), et donc pareil que

3°) Le vrai cas intéressant, on a forcément (trivial aussi), donc on a 3 trois...

3°a) [B] ou (EDIT) que cette racine soit entre deux entiers.

3° c) il faut que la plus grande racine soit inférieure à 1, c'est à dire .

3° d) Un peu plus bas.

Après, reste à bien étudier chacune des inéquations pour affiner un peu...

[capitaine nuggets]

Bonsoir :lol3:

Il faut une "grosse" disjonction de cas.

1°) D'abord, , on trouve que .

2°) , on a forcément (trivial), et donc pareil que

3°) Le vrai cas intéressant, on a forcément (trivial aussi), donc on a 3 trois...

3°a)

3° c) il faut que la plus grande racine soit inférieure à 1, c'est à dire .

Après, reste à bien étudier chacune des inéquations pour affiner un peu...

Tiens, comment et pourquoi proposes-tu les cas 3°b) et 3°c) ?

[BiancoAngelo]

Par exemple, pour le 3°b)

Vu que , on a .

Si b = 0, on a forcément c = 0, et c'est une solution.

Si b > 0, on a

Donc, vu qu'on doit avoir , on doit avoir :

donc donc ...


Voilà, c'est ce genre de travail.

[BiancoAngelo]

Tiens, comment et pourquoi proposes-tu les cas 3°b) et 3°c) ?

Salut captain !

En fait, le problème consiste à voir que la parabole doit être au dessus de l'axe pour , vu qu'on doit être au dessus pour ...

[BiancoAngelo]

Et il reste un 3°d) Il faut que la parabole ait ses racines comprises entre deux entiers, strictement...

[BiancoAngelo]

Et il reste un 3°d) Il faut que la parabole ait ses racines comprises entre deux entiers, strictement...

Donc au minimum avoir que

En l'occurrence que , donc que ...

Voilà, maintenant je ne pense pas avoir oublié de cas.
Si vous en avez d'autres, c'est cool, c'est que vous les avez trouvés :ptdr:

[BiancoAngelo]

Sinon, une autre façon d'aborder le 3°d), ou même le 3°c) et le 3°b), c'est de considérer et avec

et sachant que le polynôme s'écrit , par identification, on a un système d'inéquations...

Allez, ça, ce sont pas mal de pistes, je vais dormir.

Je reviens voir ça demain !

Salut les matheux

[zaidoun]

donc il faut discuter cas par cas, c'est à dire il n'existe pas un ensemble général qui donne le résultat.

[BiancoAngelo]

donc il faut discuter cas par cas, c'est à dire il n'existe pas un ensemble général qui donne le résultat.

Apparemment oui, l'étude sur , on peut la réaliser sur par exemple, et voir ce qu'un bête changement de variable donne, style X = x + k, avec k un entier naturel.

[BiancoAngelo]

Pour , on pose et , et donc notre problème devient équivalent à :

.

Comme je l'ai dit, on peut considérer (pour le cas où les racines sont calées entre deux entiers consécutifs) le polynôme :

et l'encadrement des 2 racines de et un entier supérieur ou égal à 1.

Rappelons-nous qu'on a : et .

En écrivant , on trouve que les intervalles dans lesquels on doit avoir B et C, donc b et c...

Je pense que comme ça on a traité tous les cas, mais c'est un peu fastidieux...