pluie2 a écrit:Bonsoir, j'ai du mal dans les résolutions avec les valeurs absolues et j'aimerais avoir une correction pour cet exercice :
On me demande de résoudre |x²+x-4|>= 2x-1.
Ce que j'ai fait :
1) Etude de x²+x-4: x²+x-4>0 sur ]-oo; (-1-rac17)/2[U](-1+rac17)/2;+oo[ et x²+x-4= 2x-1 est équivalent à x²+x-4>=2x-1. Soit x²-x-3>=0. Les solutions sont donc ici : S1=]-oo;(1-rac13)/2[U](1+rac13)/2;+oo[.
3) Pour x appartient à ](-1-rac17)/2;(-1+rac17)/2[, |x²+x-4|>= 2x-1 équivaut à -x²-x+4>= 2x-1 soit -x²-3x+5>=0 donc S2=](-3-rac29)/2;-3+rac29/2[.
Donc solutions : S=](1-rac13)/2;-3+rac29/2[.
merci de corriger.
chan79 a écrit:salut
si 2x-1 est négatif ou nul soit alors l'inégalité est vérifiée
Donc tous les nombres inférieurs ou égaux à 1/2 sont des solutions.
Ensuite, il faut voir pour les valeurs supérieures à 1/2
mrif a écrit:On ne peut pas transposer la formule de ton cours à ce cas et cette formule: |a|>=b si (-b>=a>=b et b=b est toujours vraie quelque soit a.
Revenons à ton exercice. Ta méthode est correcte, mais elle n'aboutit pas car tu as fait des erreurs dans la résolution.
Voici la méthode que tu as utilisée:
Tu as partitionné R en 2 parties P1 et P2 et c'est ce que tu as développé dans 1), jusque là tout est bon.
Ensuite dans 2) tu as résolu l'inéquation pour x appartenant à P1 et tu as trouvé l'ensemble S1 comme solutions. Mais tu as oublié que tu as résolu l'inéquation dans P1 et non pas dans R. L'ensemble des solutions est donc S'1 = P1 inter S1.
Même remarque pour la 3), l'ensemble des solutions est S'2 = P2 inter S2.
Et l'ensemble des solutions de l'inéquation dans R est égal à l'ensemble des solutions dans P1, union, l'ensemble des solutions dans P2, soit S = S'1 U S'2
pluie2 a écrit:Donc ce que je peux faire c'est :
-b>=|a|>=b avec b>=0 et b<=0 pour avoir tous les cas possibles ?
mrif a écrit:Non et en plus ça ne t'avance à rien à chercher dans cette direction car on ne connait pas le signe de b.
Essaie plutôt de corriger ce que tu as déjà fait car tu as déjà fait le gros du travail.
Essaie de trouver S'1 ensuite S'2 et enfin S.
pluie2 a écrit:1) Etude de x²+x-4: x²+x-4>0 sur ]-oo; (-1-rac17)/2[U](-1+rac17)/2;+oo[ et x²+x-4= 2x-1 est équivalent à x²+x-4>=2x-1. Soit x²-x-3>=0. Les solutions sont donc ici : S1=]-oo;(1-rac13)/2] U [(1+rac13)/2;+oo[.
3) Pour x appartient à ](-1-rac17)/2;(-1+rac17)/2[, |x²+x-4|>= 2x-1 équivaut à -x²-x+4>= 2x-1 soit -x²-3x+5>=0 donc S2=](-3-rac29)/2;-3+rac29/2[.
Donc : 2) S1=]-oo;(1-rac13)/2[U](1+rac13)/2;+oo[. et S2=](-3-rac29)/2;-3+rac29/2[.
je ^rends l'intersection des deux ? désolé j'ai un pe de mal avec toutes les notations notamment entre les P1, P2, S'1 et S'2...
pluie2 a écrit:pourquoi faut il élever au carré ?
pluie2 a écrit:D'accord je vais refaire mais n'y a t il pas une méthode générale qui marche à tous les coups ?
chan79 a écrit:c'est toujours bien de connaître plusieurs méthodes.
L'inéquation est donc |x²+x-4|>=2x-1
Une valeur absolue étant toujours positive, l'inégalité sera toujours vraie si 2x-10
on sait que des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
|x²+x-4|²>=(2x-1)²
on peut remplacer les valeurs absolues par des parenthèses, ce qui simplifie la suite, car on a toujours |u|²=u² quel que soit u.
(x²+x-4)²>=(2x-1)²
(x²+x-4+2x-1)(x²+x-4-2x+1)>=0
(x²+3x-5)(x²-x-3)>=0
on se ramène à l'étude de signe de trinômes
pour x²+3x-5, =29 ce trinôme s'annulle pour qui est négatif et égal environ à 1,19
pour x²-x-3, =13 ce trinôme s'annulle pour qui est négatif et égal environ à 2.3
Le plus simple est de faire un tableau de signes (on est dans le cas où x>1/2).
Dans chaque cas, le coefficient de x² est positif, les trinômes sont positifs à l'extérieur des racines.
En ajoutant les valeurs infétieures à 1/2, on obtient comme ensemble de solutions:
S=
chan79 a écrit:Salut
Revois les démonstrations proposées.
0 fait partie des solutions
pluie2 a écrit:ça y est je crois que j'ai compris.
Mais pour être totalement sure, à chaque fois que j'ai ce type d'inéquations, je peux toujours passer sur la résolution de 2x-1<=0 ou dans le cas général b<=0 car une valeur absolue est toujours positive donc sera toujours supérieure ?
pluie2 a écrit:Ok donc :
|x+1|0
-x-2<x+1 donc -2x-3<0 et x+1<x+2 vrai sur R.
Donc :
-2x-3 s'annule quand x=-3/2 donc sur ]-oo;-3/2[, -2x-3 est positif et sur ]-3/2;+oo[ négatif.
x+2 s'annue quand x=-2 donc je fais l'intersection des deux ensembles et je trouve ]-3/2;+oo[.
C'est louche car ce n'est pas ce que j'pbtiens à la calculatrice... :doh:
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