Indice d'une forme quadratique

[Nightmare]

Salut !

1) Tu sais qu'une matrice symétrique réelle (pour anticiper sur la question 2) est équivalente (congruente même) à une matrice diagonale. L'indice de la matrice est alors le nombre de réels positifs sur cette diagonale.

2) Du coup dans des corps ou on ne peut pas diagonaliser systématiquement une matrice symétrique, je ne sais pas quelle définition donner à l'indice.

3) A priori non.

[Ben314]

De mémoire,
1) Indice= nbre de +1 dans la signature
2) non
3) Indice <= rang (= ssi forme positive)

Edit : grillé par Nightmare.
Pour la généralisation à autre chose que R, il faudrait non seulement pouvoir diagonaliser mais aussi connaitre les "classes modulo les carrés" car un changement de base permet de remplacer un a sur la diagonale par un k²a.
dans R, il n'y a que deux classe (>0 et <0),
dans C une seule,
dans un corps fini de caractéristique différente de 2 : deux classes,
dans Q : une infinité de classe (d'où les difficulté de caractériser les formes quadratiques sur Q...)
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