Comment trouver la signature d'une forme quadratique ?

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tize
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par tize » 18 Avr 2007, 12:41

manelle a écrit:On est presque d'accord Tize ?

Oui de plus en plus... :we:
Je poste ma réponse dans quelques instants et on en reparle...à tout de suite.



tize
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par tize » 18 Avr 2007, 13:00

Soit alors donc la signature de la restriction de G à est (0,1).

Soit :
le second terme étant nul car A est antisymétriques (donc avec des 0 sur la diagonales) donc qui est définie négative (opposé du produit scalaire de matrices). De plus donc la signature de la restriction de G à est

Pour finir soit :
J'en profite pour rectifier la définition de qui est l'ensemble des matrices symétriques de trace nulle.
(d'après la définition de ) donc :
qui est définie positive (produit scalaire de matrices), de plus donc la signature de la restriction de G à est
La somme des trois s.e.v étant direct la signature de G est en additionnant :
Bon maintenant le problème pour moi c'est que je ne vois pas encore d'erreur ni dans ce que j'ai fait ni dans ce que tu as fait et pourtant erreur il y a ...

[edit] je ne l'ai pas montré mais les trois espaces en questions sont bien orthogonaux pour G

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par tize » 18 Avr 2007, 13:11

manelle a écrit:...de plus M(Eii +Ekk) = -Ekk -Eii = -(Eii +Ekk) ,
ce qui fait (n²+n)/2 vecteurs propres indépendants pour la valeur propre -1...

ça devrait être étant donné que

manelle
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par manelle » 18 Avr 2007, 13:51

tize a écrit:ça devrait être étant donné que

Oui j'ai encore été trop vite dans ma rectification , je sens que je vais rejoindre ta réponse car c'est M(E11 +...+Enn) = - (n-1) (E11+...+Enn) ,
d'où un seul vecteur propre pour la valeur propre négative 1-n ,
et je cherche les derniers correspondant à des valeurs propres positives d'après ta réponse ...
N'étant pas là cet après-midi , réponse ce soir j'espère , à moins que quelqu'un ne me les trouve d'ici là .
L'avantage de ma méthode , c'est qu'elle donne en plus les éléments propres , ce qu'on demande en prépa puisque la signature n'est plus au programme ...
Mais j'aime aussi beaucoup ta décomposition en somme directe de sous-espaces orthogonaux , de quoi faire un joli problème ...

manelle
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par manelle » 18 Avr 2007, 20:07

tize a écrit:ça devrait être étant donné que

Voilà j'ai les derniers vecteurs propres :
En regardant les colonnes de M (rectifiée avec les -1) , on a de plus :
M(E1,1 + ... + En,n) = - (n-1) (E1,1 + ... + En,n) ,
donc un vecteur propre pour la valeur négative 1-n ,
et M(E1,1 - Ei,i) = - Ei,i + E1,1 d'où n-1 autres vecteurs propres pour la valeur propre 1 et tous les vecteurs propres trouvés pour cette valeur propre 1 forment une famille libre .

On a donc pour M une seule valeur propre positive 1 avec un espace propre de dimension (n²-n)/2 + n-1 = (n²+n)/2 -1 ,
et deux valeurs propres négatives : -1 avec un espace propre de dimension (n²-n)/2 et 1-n correspondant à une droite vectorielle .

D'où la signature de la forme quadratique de matrice M :
((n²+n)/2 -1 , (n²-n)/2 +1) .
Ouf , même réponse que Tize avec les éléments propres en plus .

 

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