Comment trouver la signature d'une forme quadratique ?

[anyah]

j''ai G:
End(E)-->R
f|-->tr(f²) -(trf)²

je sais que c'est une forme quadratique

en utilisant le fait que G(af)=a²G(f) et que H:
(f,g)|-->G(f+g)-G(f-g)= 4tr(fog)-4trf xtrg
est une forme bilineaire symetrique

ensuite on me demande de trouver la signature de cette forme quadratique
et je ne c pas comment faire . je pense que la decomposition de Gauss ne peut pa etre utilisé ici, alors qu'est ce qu'on peut utiliser?

[tize]

Bonjour,
sans pouvoir t'assurer qu'il s'agisse de la meilleur méthode, tu connais une base orthonormé de , les matrices à coefficients nuls sauf à la ieme ligne jeme colonne (=1).
Pour cette b.o.n. que vaut et que vaut ?

[anyah]

Bonjour,
sans pouvoir t'assurer qu'il s'agisse de la meilleur méthode, tu connais une base orthonormé de , les matrices à coefficients nuls sauf à la ieme ligne jeme colonne (=1).
Pour cette b.o.n. que vaut et que vaut ?

pour moi le premier est nul et le deuxieme vaut 0 si idifferent de j et k different de l mais vraiment pa sur du tout

dsl mais je voi pa tro le rapport

[manelle]

pour moi le premier est nul et le deuxieme vaut 0 si idifferent de j et k different de l

dsl mais je voi pa tro le rapport

Pour moi , c'est bien la meilleure méthode car la décomposition de Gauss ne permet pas de réduire les formes quadratiques dans une BON alors que la réduction de la matrice symétrique oui .
Voilà pourquoi on écrit la matrice de la forme bilinéaire symétrique tr(AB) - trA trB dans la base canonique des Ei,j et elle ne doit pas être trop difficile à réduire . Tiens-nous au courant !
(on trouve comme signature (1 , n-1) )

[sandrine_guillerme]

bonjour à tous

l'écriture dans la base canonique (matrice élémentaire) n'est pas si évidente que ça (cf Méthod'X ce genre de matrice n'a d'élementaire que le nom), est ce que quelqu'un peut nous esquisser une méthode général?
Mes remerciements

[anyah]

bonjour à tous

l'écriture dans la base canonique (matrice élémentaire) n'est pas si évidente que ça (cf Méthod'X ce genre de matrice n'a d'élementaire que le nom), est ce que quelqu'un peut nous esquisser une méthode général?
Mes remerciements

je suis d'accord !!!!!

[anyah]

Pour moi , c'est bien la meilleure méthode car la décomposition de Gauss ne permet pas de réduire les formes quadratiques dans une BON alors que la réduction de la matrice symétrique oui .
Voilà pourquoi on écrit la matrice de la forme bilinéaire symétrique tr(AB) - trA trB dans la base canonique des Ei,j et elle ne doit pas être trop difficile à réduire . Tiens-nous au courant !
(on trouve comme signature (1 , n-1) )

alors j'essaie depuis tout a l'heure mai je vois vraiment pa comment faire

[sandrine_guillerme]

alors j'essaie depuis tout a l'heure mai je vois vraiment pa comment faire

ceci dit, il faut que tu sois aussi patient, sinon personne n'aurra le courage de te répondre, ils sont probablement occupés, mais ça ne devrait pas tarder ..
alors wait and see

[anyah]

ceci dit, il faut que tu sois aussi patient, sinon personne n'aurra le courage de te répondre, ils sont probablement occupés, mais ça ne devrait pas tarder ..
alors wait and see

lol pa de souci je patiente je patiente vacance oblige ...

[manelle]

lol pa de souci je patiente je patiente vacance oblige ...

C'est tellement gentiment dit que je te réponds tout de suite :
La matrice A est de diagonale nulle avec des 1 partout ailleurs comme tu l'as remarqué précédemment après les indications de Tize :
Tr(Eii²)-Tr²(Eii) =0 et Tr(Eij Eji)-Tr(Eij)Tr(Eji) =1 pour i distinct de j .
Donc A = Jn - In où Jn est la matrice avec que des 1.
Jn est une matrice réelle symétrique de rang 1 donc de noyau de dimension n-1 ,
d'où 0 valeur propre de multiplicité n-1 et la dernière est la trace n .
Il existe P inversible telle que Jn = p^-1 D P avec D la matrice diagonale trouvée ,
donc A = P^-1 D P - In = P^-1 D P - P^-1 In P = P^-1 (D-In) P
avec D-In diagonale , et on obtient la réduite de A avec -1 valeur propre négative de multiplicité n-1 et n-1 la dernière valeur propre positive d'où le résultat annoncé .

[anyah]

merci beaucoup !!!!

[manelle]

merci beaucoup !!!!

Excuse-moi , je reviens sur ce que j'ai dit :
donc on écrit la matrice A de la FBS f(A,B) = tr(AB) - trA trB dans la base des Ei,j n a f(Ei,i , Ei,i) = 0 , f(Ei,j , Ej,i) = 1 pour i distinct de j .
D'où A est une matrice à diagonale nulle avec des 1 partout ailleurs .
Donc A = J - I où I est la matrice identité et J la matrice avec que des 1 .
On remarque que J est symétrique réelle donc diagonalisable , de rang 1 , elle admet donc 0 comme vp de multiplicité n²-1 et la dernière vp est la trace n² .
Il existe donc P inversible telle que J = P^-1 D P où D est la matrice diagonale trouvée :
d'où A = P^-1 D P - I = P^-1 (D-I) P ,
et on a la réduction de A avec la matrice diagonale D-I :
-1 est valeur propre négative de multiplicité n²-1 et n²-1 est la seule valeur propre positive d'où la signature (1 , n²-1) .

[tize]

Bonsoir,
je reviens sur ce que j'ai dit, est bien une base mais pas orthonormée pour la forme quadratique G.
Par contre une méthode qui marche et là c'est sûr, c'est de décomposer l'espace en sous espaces supplémentaires sur lesquels la signature de la restriction de G est facilement calculable.
Un conseil : où désigne les matrices antisymétriques, les matrices symétriques avec des zéros sur la diagonale.

[sandrine_guillerme]

perfect :)

Merci José :)

[manelle]

merci beaucoup !!!!

Désolée , je n'étais pas beaucoup là aujourd'hui et j'ai regardé un peu trop vite ton exercice (très joli d'ailleurs !) .

En fait la matrice M de la FBS f(A,B)= tr(AB) - trA trB vérifie comme tu l'as vu :
f(Ei,i , Ei,i)=0 , f(Ei,j , Ek,l)=0 si j distinct de k ou i distinct de l ,
mais f(Ei,j , Ej,i)=1 pour i distinct de j .
D'où la matrice M avec n colonnes nulles et n²-n colonnes indépendantes , ce qui donne le rang n²-n pour la forme quadratique .

On peut remarquer alors que pour i distinct de j :
M (Ei,j + Ej,i) = Ej,i +Ei,j et M (Ei,j - Ej,i) = Ej,i - Ei,j = - (Ei,j - Ej,i) ,
d'où (n²-n)/2 vecteurs propres indépendants pour la valeur 1 et (n²-n)/2 vecteurs propres indépendants pour la valeur -1 ce qui donne la signature ((n²-n)/2 , (n²-n)/2) pour la forme quadratique .

[sandrine_guillerme]

Pour ma part Merci manelle

[anyah]

merci pour toutes ces explications

[tize]

...f(Ei,j , Ek,l)=0 si j distinct de k ou i distinct de l ...

ça m'a tout l'air d'être faut, non ?
par exemple pour : et

D'autre part as-tu lu ce que j'ai écrit dans mon dernier message : En fait la méthode que j'ai proposée au départ n'était pas bonne car les ne sont pas orthogonaux pour G...mais la méthode décrite dans mon dernier post est bonne et je trouve sauf erreur de calculs...je posterai les détails plus tard...

[sandrine_guillerme]

ay ay , finalement ça me pose encore problème ces matrices élèmentaires, donc attendons les détails de notre ami José :lol4:

[manelle]

ça m'a tout l'air d'être faut, non ?
par exemple pour : et

D'autre part as-tu lu ce que j'ai écrit dans mon dernier message : En fait la méthode que j'ai proposée au départ n'était pas bonne car les ne sont pas orthogonaux pour G...mais la méthode décrite dans mon dernier post est bonne et je trouve sauf erreur de calculs...je posterai les détails plus tard...

Tout à fait d'accord pour les -1 , j'ai oublié ce cas :
donc il n'y a pas de colonnes nulles pour la matrice M , elle est bien de rang n²,
et de plus M(Eii +Ekk) = -Ekk -Eii = -(Eii +Ekk) ,
ce qui fait (n²+n)/2 vecteurs propres indépendants pour la valeur propre -1 ,
donc je rectifie la signature est ((n²-n)/2 , (n²+n)/2) .
On est presque d'accord Tize ?