Incompatibilité, notion ensembliste ou probabiliste ?

[Pseuda]

Bonjour,

Je lis dans un livre de maths : "Contrairement à l'incompatibilité (de 2 événements) qui est une notion ensembliste, l'indépendance est une notion probabiliste".

Aucun doute sur le fait que l'indépendance est une notion probabiliste (que pourrait bien vouloir dire que 2 ensembles sont indépendants ? et d'ailleurs l'indépendance de 2 événements a été définie à partir des probabilités). Par contre, j'en ai beaucoup plus concernant le fait que l'incompatibilité est une notion ensembliste.

Exemple : on lance 2 dés. A est l'événement : "le 1er dé retombe sur 4", B est l'événement : "le 2ème dé retombe sur 4".
1ère probabilité : les 2 dés sont non truqués, on a : .
2ème probabilité : le 2ème dé est truqué et retombe toujours sur le 1, on a : .
Donc A et B sont incompatibles au regard de , mais pas au regard de .

Qu'en pensez-vous ?

De manière générale, il y a un souci avec l'univers sur lequel on peut mettre n'importe quelle probabilité. D'après les livres, pré-existe à la probabilité choisie sur .
Or pas complétement, car si pour une probabilité, certains événements sont impossibles, il faut les retirer de l'univers. On a donc une application (la probabilité) d'un ensemble E (l'univers) vers un ensemble F qui influe (modifie) l'ensemble E : du jamais vu !

Ou alors, si on veut admettre que l'incompatibilité est une notion ensembliste, il faut admettre que la probabilité que l'on met sur l'univers modifie l'univers (on n'est plus sur le même univers).

[zygomatique]

salut

deux (sous-) ensembles A et B (d'un ensemble E) sont incompatibles s'ils sont disjoints ... ça n'a rien a voir avec des probabilités qui existe ou pas sur E

on ne parle donc que d'ensembles ...

dans N l'ensemble des pairs et l'ensemble des impairs sont incompatibles

dans N l'ensemble des multiples de 3 et l'ensemble des multiples de 5 ne sont pas incompatibles

...

et ton exemple des dés est faux

que tes deux dés à six faces soient truqués on non il y a indépendance des résultats des deux lancers et dans tous les cas

et une probabilité ne se calcule pas après avoir lancé les dés mais avant

si A et B ont les événements "obtenir 2" (avec le dé vert) et "obtenir 3" (avec le dé rouge)

alors si on obtient (2, 5) alors l'événement n'est pas réalisé

et si on obtient (2, 3) alors l'événement est réalisé

et ce quelle que soit sa probabilité




et sur ton dé vert par exemple on peut mettre n'importe quelle probabilité :

le cas le plus pathologique étant P(0) = P(1) = ... = P(5) = 0 et P(6) = 1

dé hyper truqué ... et pourtant quand tu vas lancer le dé une infinité de fois il n'est pas impossible que tu n'obtiennes pas un i avec i < 6

[aviateur]

Bonjour,
A ma connaissance l'incompatibilité est une notion probabiliste car par définition
A et B sont incompatibles si p(A inter B)=0.
Sinon il faudrait une probabilité sur l' espace fondamental tel que p(A)>0 dès que A est non vide. Cela deviendrait vite compliqué pour pour une loi à densité où tout ensemble de mesure nulle à une probabilité nulle.

[zygomatique]

les ensembles A et B sont incompatibles <=> les ensembles A et B sont disjoints

si maintenant il existe une probabilité

A et B sont incompatibles

et on n'a pas l'équivalence puisque

prendre le cas d'ensembles négligeables donc de mesure nulle et non vides

[Pseuda]

Je suis partie d'un univers fini, où il semblerait que , mais c'est peut-être faux.

Un autre exemple en reprenant l'exemple plus haut : avec C = l'événement "la somme des 2 dés est 5", on a : mais : la compatibilité ou l'incompatibilité de 2 événements dépend bien de la probabilité choisie (sachant C ou non).

Etant donné la définition de l'incompatibilité de 2 événements : , je crois que le coeur du problème est bien là : est-il vrai, dans un univers fini, que ? Si oui, dans un univers fini, l'incompatibilité de 2 événements est bien une notion probabiliste.

Ou alors, comme je le disais plus haut, il faudrait dire qu'on change d'univers (sachant C ou non, un événement devient impossible, etc ...), et dans ce cas, ce n'est plus la peine de se poser la question, et il semblerait, si on a le droit de changer d'univers, que la notion d'incompatibilité est bien ensembliste.

[Skullkid]

Bonjour, c'est un problème de décalage entre les sens mathématique et usuel des mots utilisés. Comme tu l'as dit plus haut, l'univers pré-existe à la probabilité (et entre les deux il y a les événements), et aucun des axiomes de probabilité ne s'oppose à ce qu'on puisse avoir p(A) = 0 pour A non vide, même sur un univers fini.

Par exemple, on peut très bien choisir de modéliser un pile ou face avec un univers à 3 éléments, genre {pile,face,courgette}, avec la probabilité qui va bien. On n'a aucun intérêt à faire ce choix en pratique, mais il est tout à fait valable mathématiquement et mène aux mêmes résultats que la modélisation traditionnelle. D'ailleurs avec cet exemple on peut écrire bon nombre d'assertions vraies mais qui ont l'air bien ridicule. Ainsi l'événement "obtenir courgette" n'est pas impossible au sens mathématique (il n'y a qu'un événement impossible : ), de même que "obtenir pile ou face" n'est pas certain.

Bref, l'incompatibilité est bien une notion ensembliste, et aucun axiome n'exige l'équivalence . Mais en pratique, dans le cas des univers finis, choisir un espace probabilisé où cette équivalence n'est pas satisfaite revient à se tirer une balle dans le pied.

[aviateur]

Bonjour, on est d'accord. Mais la confusion me semble assez générale. En effet, j'ai fait avec google "évènements incompatibles"
et j'ai vu plusieurs fois A et B incompatible ssi P(A inter B)=0.......

[Skullkid]

Oui la confusion est fréquente et facile à faire, surtout au niveau lycée où les probas sont enseignées de manière "semi-intuitive", sans l'arsenal de théorie de la mesure qui va avec... mais la bonne définition de l'incompatibilité est bien l'intersection vide, et je pense pas prendre trop de risques en disant que tout cours de proba sérieux de niveau supérieur l'utilise.

[Pseuda]

Bonsoir,

Pourtant l'univers est "l'ensemble des résultats possibles de l'expérience". Il faut donc entendre que "courgette" est un résultat "possible" bien que sa probabilité de réalisation soit nulle. Donc on convient qu'il peut exister dans l'univers des événements (autant qu'on en veut) "impossibles" mais qui ne sont pas "l'événement impossible", et dont la probabilité se retrouve nulle.

Oui dans ce cas, l'incompatibilité est une notion ensembliste (on ne retire pas les événements de l'univers parce que leur probabilité est nulle).

Oui l'incompatibilité est bien enseigné dans le secondaire comme une notion ensembliste (A inter B = vide), et on fait facilement la confusion.

Merci beaucoup Skullkid pour ces explications !

[Skullkid]

Pourtant l'univers est "l'ensemble des résultats possibles de l'expérience".

C'est comme ça qu'il a vocation à être interprété, oui, d'où le fait que d'y mettre volontairement des résultats qu'on sait impossibles (au sens usuel) est mal avisé... Mais cette assertion que tu fais n'est pas une définition mathématique, puisqu'il faudrait définir mathématiquement ce qu'est une expérience aléatoire, ce qui est mal barré. C'est plutôt à entendre au sens d'un mode d'emploi ou d'un guide de modélisation probabiliste, un peu comme quand on introduit le concept de fonction comme étant un genre de machine qui mange des entrées et crache des sorties, la représentation d'un vecteur comme une flèche, etc.

Un détail amusant, d'ailleurs, est qu'il n'y a pas de concept mathématique "d'événement possible" en proba, et que si on devait en définir un, le seul choix qui fasse sens serait "événement non vide".

[Pseuda]

Bonjour,

Dans le secondaire, on fait des définitions simples compréhensibles par tous. Tout le monde comprend ce qu'est une expérience aléatoire, (comme cela a certainement dû être compris par les premiers probabilistes avant d'être théorisé pour plus de rigueur).

Enfin, ce que je comprends, c'est que c'est au prix d'admettre des événements "impossibles" dans l'univers (qui ne sont pas l'ensemble vide), qu'on peut dire que l'incompatibilité est une notion ensembliste et non pas probabiliste. On est obligé de le faire pour ne pas se retrouver devant quelque chose qui se mord la queue : la probabilité qu'on met sur l'univers ne vient pas modifier l'univers (avec une proba qui donnerait à un événement une probabilité nulle, l'univers reste le même et est bien indépendant de la proba qu'on met dessus). Tout s'éclaire.

[beagle]

Tout s'éclaire pas pour moi.

1) que p(A) = 0 n'implique pas A vide, je comprends
c'est ce que l'on a dans le continu lorsque l'on prend la proba d'un point d'un segment ou d'un point du cercle pour avoir un angle précis.Il n' ya pas d'intervalle de proba donc la proba est nulle.
C'est ce qui m'avait amené à définir deux zéros différents il ya quelques années, avec le succès ah , ah, ah...
Mais bon, je ne trouve pas que le zéro de proba
d'un évènement possible soit équivalent au zéro de proba de l'évènement ensemble vide.
Tout se passe comme si l'un était le zéro du vide , du rien
alors que l'autre est le zéro du " 1/infini"
échanger l'un pour l'autre pour moi c'est du bol que cela n'amène pas des contradictions quelque part, enfin peut-être que tout a été blindé pour que cela ne crée pas d'ennuis.

2)Maintenant mettre dans l'univers des évènements sans rapport avec l'expérience probabiliste ultérieure , je ne vois pas en quoi cela n'est pas rajouter du vide.Donc pour reprendre le lancer de pièces:si je dis une pièce a deux faces pile et courgette, alors pour que face soit un évènement qui puisse exister dans cette expérience, il faut face=pile, ou face= courgette.Si ce n'est pas le cas, alors c'est tout simplement que face n'existe pas.Face appartient à l'ensemble vide dans l'expérience de lancé de pièces à deux faces pile et courgette.De sorte que l'on est certain que face ne sortira pas , c'est un évènement impossible.
Ou alors on parle d'une expérience dont on ne connaît pas encore tous les évènements possibles.

[Pseuda]

Ceci dit, dans le secondaire, on a parfois l'impression d'une supercherie. Je m'explique. Par exemple (je change de sujet), on ressent ce que sont 2 événements indépendants, on ressent que leurs probabilités se multiplient, sauf que ce n'est pas démontré et que c'est posé en définition de 2 événements indépendants.

Du coup, on se demande si le fait que pour 2 événements, on trouve que la proba de leur intersection est le produit de leurs probas, va bien faire que ces 2 événements sont bien indépendants au sens où on le ressent.

Je n'ai pas encore lu le message de Beagle.

[beagle]

Ceci dit, dans le secondaire, on a parfois l'impression d'une supercherie. Je m'explique. Par exemple (je change de sujet), on ressent ce que sont 2 événements indépendants, on ressent que leurs probabilités se multiplient, sauf que ce n'est pas démontré et que c'est posé en définition de 2 événements indépendants.

Du coup, on se demande si le fait que pour 2 événements, on trouve que la proba de leur intersection est le produit de leurs probas, va bien faire que ces 2 événements sont bien indépendants au sens où on le ressent.

Je n'ai pas encore lu le message de Beagle.

Il me semble que l'arbre de probabilité montre bien que si indépendance je dois rediviser chaque branche initiale par les mèmes subdivisions de branches.Donc je me retrouve avec des fractions de fraction qui sont bien la multiplication des probas.
Lorsque proba non indépendantes je positionne mes premières branches , en second ordre je vais devoir mettre des probas diffférentes de subdivision.

[beagle]

Sur p(A) = 0, le fil initial où j'avais vu cela c'était une aiguille que l'on laissait tomber par terre.
Proba quelle soit dans une position angulaire précise = 0
et tous les évènements qui sortiront, étaient des évènements qui avant leur sortie étaient considérés de proba nulle.Donc proba nulle n'est pas évènement impossible.
Maintenant cela me choquait de comparer cette proba nulle,
avec celle-ci:
proba que l'aiguille soit dans un angle donné à 1 km de là, sachant que l'on réailise l'expérience dans une enceinte fermée à tant de cm du sol), là on a clairement une proba nulle de l'évènement impossible.C'est la proba de l'ensemble vide.

[beagle]

L'indépendance est de définition probabiliste, mais son support d'abstraction reste ensembliste.
La patate du 1 est divisée en deux (ou plus mais bon) par la première expérience probabiliste.
Ben la deuxième expérience probabiliste est indépendante lorsque ètre dans une des deux souspatates n'apporte rien,
bref je dois rediviser chaque sous-ensemble de la même manière.
Les fractions de fraction sont à multiplier pour avoir leur poids respectifs.

probas non indépendantes les deux souspatates sont à diviser de façon différente , car ètre dans un sous-ensemble ou dans l'autre n'utilisera pas les probas "générales" de la deuxième expérience.C'est du sachant que je suis dans la sous patate.

[Skullkid]

Il faut bien faire la distinction entre ce qui est mathématique et ce qui ne l'est pas. Et surtout bien comprendre que dire que quelque chose n'est pas mathématique, ça n'est ni dénigrer cette chose, ni dire que ça n'a aucun lien avec les mathématiques, ni dire que c'est inutile pour comprendre les mathématiques qui y sont éventuellement liées.

Tout le monde comprend ce qu'est une expérience aléatoire, ça n'empêche pas que ce n'est pas un objet mathématique. Tout le monde ressent bien que les événements indépendants sont ceux "qui n'ont rien à voir entre eux et tels que la réalisation ou non de l'un n'impacte en rien celle de l'autre", mais la définition mathématique dit juste . Tout le monde ressent bien que ce n'est pas la même chose d'avoir un événement de proba nulle "qui ne sortira vraiment jamais" et un événement de proba nulle "qui a une chance infinitésimale de sortir", pourtant mathématiquement leur proba est rigoureusement la même : zéro.

Toute la démarche de modélisation qui consiste à choisir un certain espace probabilisé et à déclarer qu'il va servir de cadre rigoureux pour étudier une "expérience aléatoire" n'est pas mathématique. Cette démarche est essentielle, on ne peut pas y couper et c'est elle qui permet une interprétation, mais elle n'est pas mathématique. On peut en parler, la discuter et la critiquer au cas par cas, mais il ne faut pas tomber dans le piège de croire qu'en le faisant, on serait en train de faire des maths, et qu'on pourrait donc se réclamer de preuves ou de démonstrations.

[beagle]

Je ne comprends toujours pas.
Un pièce de pile ou face ce n'est pas mathématique, mais bon dire il ya deux faces, dire on note la face (du dessus) , ben je trouve que mathématiquement donner 3 possibilités, je trouve cela??????Que au moins deux soit deux, sur aléatoire c'est encore autre chose...Donc je ne comprends pas comment courge ou courgette vient dans le processus aléatoire empécher le pile ou face.

Sinon voilà un problème de probabilité:
la mère de Toto a 3 fils : Pim, Pam et ...
Poum bien sur.
Donc quelle probabilité que Toto soit l'ainé?

[beagle]

" Tout le monde ressent bien que les événements indépendants sont ceux "qui n'ont rien à voir entre eux et tels que la réalisation ou non de l'un n'impacte en rien celle de l'autre", mais la définition mathématique dit juste . " p(A inter B) = p(A) x p(B)

ben perso c'est bien ce que je reprocherais à l'enseignement
si l'indépendance c'est la définition ci-dessus
si en premier est la définiton mathématique je trouve cela dur dur

perso la définition maths je la trouve conséquence de l'indépendance
et ensuite elle est nécessaire et suffisante.

[aviateur]

Pour en ajouter une louche, et sont ils indépendants?