C'est encore moi, je bloque sur une autre partie,j'ai:
Soit u un endomorphisme de E,pour tout entier naturel p, on notera Ip=Im(u^p) et Kp=Ker(u^p).
1.Montrer que quelque soit p appartenant à N, Kp inclus dans Kp+1 et Ip+1 inclu dans Ip.-> çà j'ai fait c'est ok.
2. On suppose que E est de dimension finie n non nulle et u non injectif.
a/Montrer qu'il existe un plus petit entier naturel r< ou =n tel que Kr=Kr+1
b/Montrer qu'alors Ir=Ir+1 et que quelque soit p appartenant à N, Kr=Kr+p et Ir=Ir+p.
Alors là je suis perdu je ne vois pas du tout comment faire ni comment commencer.Auriez-vous une petite piste?
Merci :happy2:
Image et noyau
19 messages
- Page 1 sur 1
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 17:06
Salut !
Avec l'inclusion des noyaux, que peux-tu dire sur les dimensions de ker(u^p) et ker(u^p+1) ?
Et si les inclusions étaient toutes strictes ?
Avec l'inclusion des noyaux, que peux-tu dire sur les dimensions de ker(u^p) et ker(u^p+1) ?
Et si les inclusions étaient toutes strictes ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 17:14
On peut dire que dim(ker(u^p)) < ou = à dim( ker(u^p+1) ) et si les inclusions sont strictes alors c'est inférieur stricte.
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 17:16
Ouép !
Donc supposons que les inclusions soient toutes strictes.
Y'a pas un moment où le noyau il va devenir vachement trop gros pour loger dans ton minuscule espace vectoriel ?
Donc supposons que les inclusions soient toutes strictes.
Y'a pas un moment où le noyau il va devenir vachement trop gros pour loger dans ton minuscule espace vectoriel ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 17:24
Je suis pas sûre d'avoir tout saisi mais aurais t-on:
dim((ker(u^p)) < dim( ker(u^p+1) )< ou égale à dim E=n
dim((ker(u^p)) < dim( ker(u^p+1) )< ou égale à dim E=n
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 17:25
En fait, si les inégalités sont strictes, la suite ( dim ker u^p ) est une suite d'entiers naturels, strictement croissante.
Donc elle tend vers l'infini.
MAIS elle est aussi majorée par dimE, d'où une contradiction !
Donc elle tend vers l'infini.
MAIS elle est aussi majorée par dimE, d'où une contradiction !
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 17:31
Donc en fait l'inégalité n'est pas stricte et on a donc bien l'existence d'un entier r< ou = à n tel que Kp=Kp+1?
On fait la même chose avec l'Im je suppose mais la deuxième partie alors là... :cry:
On fait la même chose avec l'Im je suppose mais la deuxième partie alors là... :cry:
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 17:35
Pour les images, utilise plutôt la formule du rang ( tu as déjà une inclusion, il ne te manque plus que les dimensions ).
Ensuite, essaye de montrer que pour tout entier p, Ker(u^(r+p)) = Ker(u^(r+p+1)).
Ensuite, essaye de montrer que pour tout entier p, Ker(u^(r+p)) = Ker(u^(r+p+1)).
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 17:51
J'ai procédé en faisant une double inclusion:
si x appartient à Ker(u^p+r) alors u^p+r(x)=0 d'où en composant par u u^(p+r+1)(x)=u(0)=0 donc x appartient à Ker u^p+r+1
si x appartient à Ker u^p+r+1 j'arrive à u^(p+r)o(u(x))=0 donc u(x) appartient à Ker u^p+r est-ce que je peux en deduire que x appartient à ce même ker?
si x appartient à Ker(u^p+r) alors u^p+r(x)=0 d'où en composant par u u^(p+r+1)(x)=u(0)=0 donc x appartient à Ker u^p+r+1
si x appartient à Ker u^p+r+1 j'arrive à u^(p+r)o(u(x))=0 donc u(x) appartient à Ker u^p+r est-ce que je peux en deduire que x appartient à ce même ker?
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 17:54
Tu avais déjà fait la première inclusion dans la question 1 ;-)
Pour l'autre, u^(r+p+1) (x) = u^(r+1) ( u^p (x) )
Donc ... ?
Pour l'autre, u^(r+p+1) (x) = u^(r+1) ( u^p (x) )
Donc ... ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 18:04
çà m'apprendra à oublier les questions précédentes.
on a u^(r+1)[u^p(x)]=0 d'où u^p(x) appartient à Ker u^r+1 or Ker u^r+1=Ker u^r on obtient donc u^p(x) appartient à Ker u^r
donc u^(r+p)(x)=0 donc x appartient à Ker u^p+r.
d'où la seconde inclusion. :happy2:
on a u^(r+1)[u^p(x)]=0 d'où u^p(x) appartient à Ker u^r+1 or Ker u^r+1=Ker u^r on obtient donc u^p(x) appartient à Ker u^r
donc u^(r+p)(x)=0 donc x appartient à Ker u^p+r.
d'où la seconde inclusion. :happy2:
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 18:05
C'est ça !
Et tu as l'égalité demandée par une récurrence triviale !
Et tu as l'égalité demandée par une récurrence triviale !
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 18:14
Ah oui effectivement Ker u^(r+1)=Ker u^r=Ker u^(r+p)=Ker u^(r+p+1)
Merci beaucoup :happy2: , pourrais-je profiter de tes conseils pour une autre question?
Merci beaucoup :happy2: , pourrais-je profiter de tes conseils pour une autre question?
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 18:16
Tu peux toujours la poser, on verra bien si je sais/j'ai le temps de répondre.
Sinon, quelqu'un d'autre le fera à ma place !
Sinon, quelqu'un d'autre le fera à ma place !
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 18:18
Merci.j'ai un problème pour montrer la surjectivité d'un endomorphisme.
Soit K[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans le corps K et d l'endomorphisme de K[X] qui a un polynôme P associe son polynôme dérivé P'.
On me demande si d est injectif et s'il est surjectif.
L'injection est facile à infirmer en prenant un contre exemple en effet si P'=Q' P n'est pas forcément égale à Q à cause de la constante des polynômes.Mais la surjectivité je sais pas :cry:
Soit K[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans le corps K et d l'endomorphisme de K[X] qui a un polynôme P associe son polynôme dérivé P'.
On me demande si d est injectif et s'il est surjectif.
L'injection est facile à infirmer en prenant un contre exemple en effet si P'=Q' P n'est pas forcément égale à Q à cause de la constante des polynômes.Mais la surjectivité je sais pas :cry:
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 18:22
Ok.
Déjà, pour commencer, à ton avis elle est surjective ? ( ben oui, 'faut bien savoir ce qu'il y a à montrer )
Déjà, pour commencer, à ton avis elle est surjective ? ( ben oui, 'faut bien savoir ce qu'il y a à montrer )
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 18:25
Ba en fait çà m'arrangerait bien qu'elle le soit pas car le but de la question est de montrer que K[X] n'est pas de dimension finie. Or par théorème on sait que si K[X] est de dimension finie alors d injectif<=>d surjectif<=>d bijectif.
par Monsieur23 » 12 Oct 2008, 18:28
Donc au contraire, ça t'arrangerait bien qu'elle le soit !
Comme ça tu aurais un endomorphisme surjectif pas injectif !
Bon, disons qu'elle l'est.
Donc tu prends un polynôme Q.
Tu cherches un polynôme P tel que Q = P'.
Que penses-tu de dt)
? Si c'est un polynôme et que sa dérivée vaut Q, ça serait cool ! 
Je vais manger moi, je reviens après !
Comme ça tu aurais un endomorphisme surjectif pas injectif !
Bon, disons qu'elle l'est.
Donc tu prends un polynôme Q.
Tu cherches un polynôme P tel que Q = P'.
Que penses-tu de
Je vais manger moi, je reviens après !
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
par Mazao » 12 Oct 2008, 18:29
Bon appétit :happy2: Tu as raison effectivement çà fonctionne très bien merci beaucoup :happy2:
19 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 48 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :