Image et noyau

[JLN37]

bonsoir !
j'ai un petit exercice d'algebre sur lequel je bute...
on prend a,x,y,z dans R et f[a](x,y,z)=(-ax-y+z,-x-ay-z,x-y-az).
la question est : pour quelles valeurs de a a-t-on ker(f[a]) = ({0,0,0}) ; préciser alors les valeurs de a pour lesquelles ker(f[a]) diiférent de ({0,0,0}) et donner dans chaque cas une base de ker(f[a]).

pour la premiere partie de la question, j'ai posé un systeme,
-ax-y+z=0
-x-ay-z=0
x-y-az=0
je prend son déterminant :
| -a -1 1 |
| -1 -a -1 |
| 1 -1 -a |
et en factorisant j'arrive a trouve DELTA = 0 ssi a=-1 et a=2.

cela veut il dire que a peut prendre tout les valeurs de R sauf -1 et 2 ? ou alors je suis tres mal partis ?

merci a vous !

[Quidam]

et en factorisant j'arrive a trouve DELTA = 0 ssi a=-1 et a=2.

cela veut il dire que a peut prendre tout les valeurs de R sauf -1 et 2 ? ou alors je suis tres mal partis ?

C'est quoi Delta ? Le déterminant ? Si oui, tu as tout bon !

Mais prends soin de définir les variables dont tu parles !

[JLN37]

désolé...ca manquait de rigueur en effet. donc oui il s'agit bien du determinant.comme je peux donc faire pour trouver une basede ker(f[a]) ??

[Quidam]

désolé...ca manquait de rigueur en effet. donc oui il s'agit bien du determinant.comme je peux donc faire pour trouver une basede ker(f[a]) ??

Ben tu cherche les solutions non nulles de f[a](X)=0 ! Si le déterminant en question est non nul, il n'y a pas de telles solutions : ker(f[a]) ne contient alors que le vecteur nul. Sinon, il y a des solutions : à toi de résoudre le système obtenu à chaque fois.