Idéal et espace vectoriel

[MC91]

Bonjour,

Est ce qu'un idéal peut s'apparenter à un espace vectoriel?
Car un idéal est un groupe, stable pour une loi de composition externe (multiplication).

Merci de vos réponses.

[vincentroumezy]

Bonjour.
Si tu trouves une loi externe qui convient, oui, mais sinon....

[MC91]

Bonjour.
Si tu trouves une loi externe qui convient, oui, mais sinon....

Comment ça, qui convient? Si je prends par exemple un idéal qui est dans un anneau muni de + et * comme lois de composition interne, et une loi multiplicative comme loi externe, ça marche non?

[vincentroumezy]

Déjà, il faut que la loi externe soit à opérateur dans un corps.

[MC91]

Déjà, il faut que la loi externe soi à opérateur dans un corps.

Ah oui, exact, je n'y avais pas pensé. Merci.

[Luc]

Ah oui, exact, je n'y avais pas pensé. Merci.

En fait, la structure pertinente à laquelle pense MC91 est celle de module sur un anneau (supposé commutatif). La notion de module (par exemple de -module) est une généralisation de la notion d'espace vectoriel. Un -module est à un anneau ce qu'un -espace vectoriel est à un corps . On peut définir la notion de sous-module de façon analogue à celle de sous-espace vectoriel.
La théorie des modules à des applications à la théorie des réseaux, la cristallographie, la géométrie algébrique...

En particulier, on a le résultat suivant :
Soit un anneau commutatif. Soit une partie de . Alors est un sous -module de si et seulement si c'est un idéal de .

[vincentroumezy]

C'est bon à savoir, merci !