Harmonique bornée

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 16:50

salut!

comment montreriez vous qu'une fonction harmonique et bornée sur C est constante?

par **ffpower** » 14 Déc 2010, 16:56

Il doit y avoir des moyens directs ( et j'ai déjà du en voir un au moins une fois mais m'en souviens plus ), mais moi perso je dis qu'une telle fonction est la partie réelle d'une fonction entiere, dont l'image ne sera pas dense..( Argument qui ne segénéralise évidemment pas à R^n, mais bon )

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 17:01

salut ffpower! Peux-tu développer?

par **windows7** » 14 Déc 2010, 17:12

salut,

si tu ecris f = somme an * z^n + somme bn* z_barre ^n tu as la preuve en 2 lignes ( meme pas )

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 17:18

euh jai du mal à voir comment!

par **ffpower** » 14 Déc 2010, 17:18

Soit f harmonique à valeurs réelles ( si c'est à valeurs complexes, tu t'y ramenes en prenant partie réelle et imaginaire ), et disons bornée par 1. Alors on peut trouver g holomorphe tel que f=Re(g)=(g+gbar)/2 : En effet, en dérivant par rapport à z, ceci est équivalent à trouver g holomorphe telle que df/dz=(1/2)g '(z). Or l'harmonicité de f dit que df/dz holomorphe ( puisque d²f/dz.d(zbar)=0 ), et comme une fonction holomorphe admet une primitive holomorphe..CQFD pour le lemme. Apres, vu que f=Re(g) est bornée, ça implique que l'image de g est incluse dans une bande ( -12-f>1, et donc que 1/(g-2) est une fonction entiere majorée, donc constante, et donc f est constante..

par **ffpower** » 14 Déc 2010, 17:21

L'argument de Ubuntu marche aussi ( mais faut savoir justifier qu'une appli harmonique se met sous cette forme ). Tu fais comme pour Liouville : tu applique en z=re^{i.theta} et tu utilises Parseval..

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 17:47

niquel ca marche!

Et sais-tu comment prouver que f est harmonique si et ssi f(z)=1/2ipi int(f(t)/(t-z)) sur {t dans C tels que |t-z|=e } pour tout z et e?

je patauge a la biblio...

par **ffpower** » 14 Déc 2010, 17:52

Pour ma part, même méthode : f partie réelle d'une fonction holomorphe^^. La formule est vraie pour les f holomorphe ( c'est Cauchy ), et on prend la partie réelle ( en écrivant la formule paramétrée avec du theta plutot que du z )

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 18:00

encore une fois peux-tu développer? :$ et pourquoi ici peut-on se restreindre au cas où f est réelle?

par **ffpower** » 14 Déc 2010, 18:06

La formule a prouver est

Si f est holomorphe, la formule est vraie
On prend la partie réelle, ce qui donne que la formule est encore vraie pour les fonctions harmoniques réelles
Si f harmonique complexe, on écrit f=f1+if2

par **Nightmare** » 14 Déc 2010, 18:13

en fait c'est le passage "vrai pour g donc vrai pour Re(g) que jai du mal à écrire...

et la réciproque?

Harmonique bornée

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