Géométrie-symétrie orthogonale

[ArtyB]

Bonjour,

Petit exercice de géométrie intéressant:

On considère le plan affine muni de son repère cartésien canonique .
Soit D la droite affine tangente au cercle unité formant un angle de 30° avec l'axe des abscisses.
Soit f la symétrie orthogonale par rapport à D.
Pour M un point du plan de coordonnées (x,y), on a f(M) de coordonnées (x',y').
ie:
et
Trouver l'expression de (x',y') en fonction de (x,y).

Méthode:
1. On note A le point d'intersection de D avec le cercle d'unité et un vecteur directeur de D, et .
(a) Déterminer les coordonnées de A
(b) Donner les coordonnées (a,b) pour avec a>0 et

(a) On sait que le vecteur v(x,y) est de norme 1 ie mais sinon je ne sais pas comment faire ça, est-ce qu'il ne faut pas utiliser un théorème dont j'ai totalement oublié le nom qu'on utilisait au collège pour les triangles ?

2. Montrer qu'il exsite un unique tel que


3. Ecrire en donnant et en fonction de et .


4.Exprimer et en fonction de x et y.


5. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.

[Robot]

Une question indiscrète : t'arrive-t-il de faire un exercice sans demander de l'aide sur le forum ? Ne trouves-tu pas que tu pousses un peu ?

A part ça :

Soit D la droite affine tangente au cercle unité formant un angle de 30° avec l'axe des abscisses.

Manque de bol, il y a deux telles droites et pas une seule.

[ArtyB]

Question non-indiscrète (et donc discrète faut d'être continue haha pardon) à laquelle je vais te répondre: je fais la plupart de mes exercices sans en parler sur le forum, parce que je réussis et comprends sûrement la plupart d'entre eux mais je dois avouer qu'il y en a quelques uns (beaucoup selon toi) que j'ai du mal à cerner ou bien pour lesquelles je ne suis pas sûr de mes réponses. Et dans ce cas là plutôt que de rester dans l'ignorance, et de ne pas comprendre (ce que je déteste) je viens vous demander de me guider, pour que je puisse développer des automatismes de réflexion en me basant sur les méthodes/pistes que vous me donnez à chaque fois.

Ah oui en effet même 4 non ? en comptant chaque "quart" du plan. Ici en l'occurrence c'est celle coupant l'axe des abscisses à gauche du cercle unitaire et "montant vers la droite" (je ne sais pas comment le dire haha).

[Robot]

Ah oui en effet même 4 non ? en comptant chaque "quart" du plan. Ici en l'occurrence c'est celle coupant l'axe des abscisses à gauche du cercle unitaire et "montant vers la droite" (je ne sais pas comment le dire haha).

Non non, 2. L'angle de 30° fixe la direction de la tangente, et il y a bien sûr deux tangentes parallèles au cercle qui ont cette direction, tangentes en des points diamétralement opposés du cercle. Je ne vois pas ce qui permet dans l'énoncé de choisir une des deux, mais sans doute n'as-tu pas reproduit l'énoncé exact.

[chan79]

Non non, 2. L'angle de 30° fixe la direction de la tangente, et il y a bien sûr deux tangentes parallèles au cercle qui ont cette direction, tangentes en des points diamétralement opposés du cercle. Je ne vois pas ce qui permet dans l'énoncé de choisir une des deux, mais sans doute n'as-tu pas reproduit l'énoncé exact.

salut
Il y en a bien une seule qui coupe l'axe des abscisses à gauche du cercle unitaire et qui "monte vers la droite". :zen:

[Robot]

Chan, tu enfonces les portes ouvertes.
Le "monter vers la droite" est dans l'énoncé, si on le comprend comme voulant dire que l'angle de droites (axe des abscisses, tangente) a une mesure de 30°.
Mais, Chan, peux-tu me dire où, dans l'énoncé donné par ArtyB, il est écrit que cette tangente coupe l'axe des abscisses dans sa partie négative ?

[chan79]

Chan, tu enfonces les portes ouvertes.
Le "monter vers la droite" est dans l'énoncé, si on le comprend comme voulant dire que l'angle de droites (axe des abscisses, tangente) a une mesure de 30°.
Mais, Chan, peux-tu me dire où, dans l'énoncé donné par ArtyB, il est écrit que cette tangente coupe l'axe des abscisses dans sa partie négative ?

Ici en l'occurrence c'est celle coupant l'axe des abscisses à gauche du cercle unitaire et "montant vers la droite" (je ne sais pas comment le dire haha).

Relax Robot !
ArtyB semble décrire une figure donnée avec l'énoncé.

[aymanemaysae]

Message modifié après l'édition de notre professeur 'Chan79'.
Après la permission de mes deux professeurs, ainsi que de M. ArtyB (l'initiateur de ce fil, qui par ses multiples initiatives permet a beaucoup d'élèves et d'étudiants de se familiariser avec des sujets qu'ils appréhendent, et qui grâce aux explications des différents bonnes volontés sur ce site arrivent en un temps très bref à s'initier et même à assimiler des notions nouvelles) et comme je ne suis pas très fort en géométrie, j'aimerai savoir si les résultats que j'ai obtenus sont justes ou non:
1) Le point d'intersection de la tangente avec le cercle est: (-V3/2,1/2).
2) Le vecteur directeur de la tangente est: (1/2,V3/2).
3) L'équation cartésienne de la tangente est: y=V3 x + 2.
4) Le symétrique d'un point (a,b) par rapport à la droite d'équation y=V3 x +2 est ((-3+V3)a+V3b-2V3,-V3a+2b-2).
Merci.

[Ben314]

Moi j'aime bien mettre mon grain de sel quand je sent que ça part en quenouille je pose la question "qui tue" :
Le 30°, c'est un angle orienté ou pas ?

[Robot]

Personnellement, je l'ai compris comme mesure d'angle orienté de droite.
ArtyB donnera peut-être des précisions sur l'énoncé exact et l'éventuelle figure l'accompagnant. Pour le moment, tout le monde joue aux devinettes.

[Ben314]

A mon avis, chan est dans le juste : Arty a une figure associée à son exo sur laquelle
la tangente est celle coupant l'axe des abscisses à gauche du cercle unitaire et "montant vers la droite".
En bref, c'est tangent en A:(cos(120°),sin(120°))

[chan79]

Comme nous sommes en période d'élections et qu'il faut faire son devoir de citoyen, je vote pour:

[ArtyB]

Toutes mes excuses j'avais en effet une image mais je n'arrive pas à insérer d'image dans mes posts, je ne sais pas pourquoi. La figure de chan79 est en effet la bonne !
Désolé pour la confusion.

[aymanemaysae]

M. ArtyB, veuillez comparer vos résultats avec les miens: c'est presque mon premier exercice de géométrie cette année.
Merci.

[chan79]

M. ArtyB, veuillez comparer vos résultats avec les miens: c'est presque mon premier exercice de géométrie cette année.
Merci.

Je trouve T

Il faut voir si tu as travaillé avec la même figure ou non.

[aymanemaysae]

Oui, mais comme c'est mon premier exercice, je crois que j'ai commis une erreur.

[ArtyB]

Réponse tardive, mes excuses, j'ai demandé à ma petite soeur de faire des rappels sur les cours de collège/lycée et c'est bon je pense être au point.
J'ai trouvé:
1) a)
1) b) en partant de la figure postée par chan79, le vecteur u directeur de D est aussi le vecteur AT de coordonnée

2) Soit I le milieu du segment [M f(M)], I est sur la droite D.
comme OM=OA+AI+IM et que AI est sur la droite D (mal dit je sais mais je ne sais pas trop comment bien l'exprimer), alors AI est colinéaire à u et AI=alpha*u.
Comme f est une symetrie orthogonale, alors la droite passant par les points M et f(M) est perpendiculaire à D, tout comme OA donc v est aussi un vecteur directeur de la droite passant par M et f(M), soit IM=beta*v
et on a: OM=OA+alpha*u+beta*v

3)Même raisonnement pour Of(M)
avec:


(comment le démontrer minutieusement ?)

4) On a:



5)On a:


Soit:

[chan79]

Réponse tardive, mes excuses, j'ai demandé à ma petite soeur de faire des rappels sur les cours de collège/lycée et c'est bon je pense être au point.
J'ai trouvé:
1) a)
1) b) en partant de la figure postée par chan79, le vecteur u directeur de D est aussi le vecteur AT de coordonnée

attention est colinéaire à

[aymanemaysae]

Soit : O l’origine du repère, M_0 le point de rencontre du cercle et de la tangente, V le point de rencontre de la tangente et de l’axe des abscisses, et W le point de coordonnées (1,0) .
L’angle , l’angle , donc l’angle , et par conséquent l’angle .
On a donc : ,) qui est orthogonal au vecteur directeur de la tangente. Soit le vecteur directeur de la tangente, donc on a * = 0, ce qui donne que =(,).
Les points M(x,y) de la tangente sont telles que =t , donc = t (,), donc = (t-, t+,
ce qui donne que 2x=t-1 et 2y=t+ , et par conséquent t= et y=x+.
Soit le point N(h,k) le symétrique du point M(a,b) par rapport à la tangente, donc est orthogonal à , donc * = 0,
donc (h-a) + (k-b) = 0, donc h-a = b-k, donc k = b +a-h : résultat n° 1.
Soit X(u,v) le milieu du , donc (u,v)=(,), et comme X la tangente au cercle, alors on a : =+, alors (b+k)=a+h+4, et en substituant k par le résultat n° 1, on ab-1 : résultat n° 2.
Et en substituant h dans le résultat n° 1 par sa valeur obtenue dans le résultat n° 2, on a k= a - b+, donc le symétrique du point M par rapport à la tangente (VM_0) est N(a + b-1 , a - b+).

[ArtyB]

Oups mea culpa pour les inversions de coordonnées, merci chan79.
aymanemaysae, il me semble que j'ai sensiblement les mêmes résultats, avec de démonstrations plus ou moins différentes