Matrice symétrique et orthogonale

par **totof** » 09 Avr 2007, 18:40

Bonjour, j'ai reçu un DM pour les vacances et je suis déjà bloqué:
1) Que dire des matrices carrées réelles d'ordre 3, symétriques et orthogonales?
2) Interprétation géométrique
3) Calculer leurs exponentielles
4) Trouver un polynôme annulateur de expA , où A est l'une de ces matrices et quelles sont les racines de ce polynôme?

Pour la 1ère question c'est bon mais c'est pour le reste...
Toute aide est la bienvenue.
Merci d'avance.

par **fahr451** » 09 Avr 2007, 18:42

bonsoir

symétrique A = tA orthogonale A^(-1) = A d 'où ...

par **totof** » 09 Avr 2007, 19:12

A est unitaire c'est bien ça?

par **fahr451** » 09 Avr 2007, 19:15

unitaire c 'est pour les matrices complexes ici A est orthogonale

et A^(-1) = A donc A^2 = I A représente une symétrie orthogonale

A = tP D P avec P quelconque orthogonale et D diagonale avec des 1 ou des -1 sur la diagonale

par **sandrine_guillerme** » 09 Avr 2007, 19:16

Bonjour je ne sais pas si je dirais une bétise mais je crois que les éléments d'une matrice orthogonale appartiennent tous à [-1,1] n'est ce pas fahr ?

par **fahr451** » 09 Avr 2007, 19:19

le spectre réel est inclus dans {-1,1} en effet et ici en plus étant symétrique elle est diagonalisable en bon

par **fahr451** » 09 Avr 2007, 19:22

Rain' a écrit:non
(2/3,1/3,2/3)
(-2/3,2/3,1/3)
(-1/3,-2/3,2/3) est orthogonale.

non à quoi ?

par **totof** » 09 Avr 2007, 19:26

Est-ce que c'est la même choses pour les exponentielles de matrice orthogonales que pour les matrice inversibles:
est-ce que e^A=Pt * e^D * P ?

par **fahr451** » 09 Avr 2007, 19:38

oui P est orthogonale donc P^(-1) = tP

par **sandrine_guillerme** » 09 Avr 2007, 19:41

mais ce que j'ai dis est vrai ou faux ?

on peut s'intérésser aussi a la trace de tAA lorsque A est orthogonale //

par **sandrine_guillerme** » 09 Avr 2007, 20:35

Il me semble qu'on a pas répondu à toutes tes questions .. ou t'en a plus ?

j'espère que là tu as tout ce qu'il faut pour ton devoir ? n'hésites pas sinon (du moins pour l'algèbre bi lol j'aime bien ! :zen: )

par **totof** » 09 Avr 2007, 20:47

Pour les exponentielles c'est bon normalement, ensuite là je suis en train de chercher pour le polynôme annulateur.
Mais si vous avez des idées je suis toujours prêt à les recevoir... ;)

par **anyah** » 16 Avr 2007, 15:13

comment peux t'on faire pour le polynome annulateur de exp(A) ? et ces racines?

sachant que g trouvé exp(A)=ch(1)+A x sh(1) en passant par la serie entiere de exp (A)

Matrice symétrique et orthogonale

matrice symétrique et orthogonale

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