Caractérisation d'une projection orthogonale

[Anonyme]

Soit E ev euclidien et p € L(E) projection, N norme euclidienne

Comment montrer que

[ Pour tout x de E, N(p(x)) inférieure à x ] => [ p projection orthogonale]

?

Merci

[Anonyme]

Salut,


Fais un dessin ;) et accéssoirement prends un vecteur dans l'orthogonal de kep(p)

[quinto]

Juste pour info:
ce ne serait pas N(p(x)) inférieur à N(x) plutôt?

[TurnitinBot [Bot]]

Pour a dans Im(p), b dans Ker(p), l dans R,
N( a+ l*b )^2 = N(a)^2 + N(l*b)^2 + 2 l a.b >= N(p(a+l*b))^2 = N(a)^2
donc l * N(b) + 2 a.b >= 0 pour l strictement positif
ensuite faire tendre l vers 0 et faire de même en remplaçant b par -b

[Anonyme]

Effectivement je me suis trompé en tapant, c'était N(x).

En tout cas, merci pour ta réponse, Kjus !

(signé : l'auteur de la question)