Forme quadratique

[klaus2010]

Bonsoir,
on a la forme quadratique

v^T A v , ou v dans R^n et A est une matrice carré n*n symétrique, inversible.

c'est quand on peux écrire v^T A v égale |A|.|v|^2 ?
ou |A| la norme de matrice
merci

[Joker62]

C'est quoi la question ?

[Ben314]

Salut.
Prend tu comme définition pour norme de A la norme de l'aplication linéaire associée (i.e. le min des k tels que |Ax|<=k|x| pour tout x) ?

Si oui, on a une MAJORATION au moins dans le cas ou on prend la norme euclidienne sur R^n.
v^t A v <= |A| |v|²

[klaus2010]

Salut.
Prend tu comme définition pour norme de A la norme de l'aplication linéaire associée (i.e. le min des k tels que |Ax|<=k|x| pour tout x) ?



Si oui, ta majoration est correcte au moins dans le cas ou on prend la norme euclidienne sur R^n.

c'est quand on aura l'egalite

[Ben314]

Je ne suis pas sûr que l'on puisse avoir égalité :
Tu sait que, pour tout v,w on a v^t A v <= |v| |Av| avec égalité ssi v et Av sont colinéaires et que |Av|<=|A||v| et qu'il y a égalité pour au moins une droite vectorielle (mais des fois pas plus).
Je pense qu'en général, on ne peut pas avoir égalité pour les deux (sauf pour des matrices A particulières)

[kazeriahm]

La matrice est diagonalisable et sa norme vaut la plus grande des valeurs propres, donc en valeur absolue on a égalité (si et seulement si ?) v est un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de A en valeur absolue