Forme quadratique

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
ça fait longtemps que je ne fait pas de réduction des formes quadratiques : :happy3:
Je voudrais que quelqu'un me fasse un petit rappel sur la methode de decomposer une forme quadratique en carrées de formes linéaires ! et son lien avec la signature de cette forme quadratique ainsi qu'avec le théorème de Sylvester ! :happy:
Merci d'avance ! :happy:

[fatal_error]

salut,

tu peux chercher la réduction de gauss.
Pour la signature, tu comptes le nombre de coeff positifs et le nombre de coeffs négatifs (ceux devant tes carrés).

Pour les adjectifs de ta forme,
ya dégénéré si le nombre de carré est inférieur a la dimension de ta forme quad.
Sinon, def positive, si de plus tous les coeff sont positifs et def negative si tous les coeffs sont négatifs.

Quant a sylvester, jconnais que stallone.

[barbu23]

Quant a sylvester, jconnais que stallone.

I'm rocky balboa ! :zen:
La reponse à ce sujet en detail est par ici :
http://www.uel-pcsm.education.fr/consultation/reference/mathematiques/formes1/index.htm
MErci quant même pour ces precisions ! :happy3:

[barbu23]

connaissez vous la methode qui permet de decomposer une forme quadratique en combinaisons linéaires de formes quadratiques linéairement independantes autres que celle qui figure sur le lien çi dessus ? ( c'est à dire en utilisant une autre methode que celle de l'algorithme de Gauss ) :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[fatal_error]

tu peux aussi diagonaliser ta matrice si elle est full réel

[barbu23]

ok ! oui ! :happy3:
Connais tu la methode qui permet de passer d'une base orthogonale à une base orthonormal !
Par exemple pour : orthogonal

comment donc, passer à l' ecriture suivante pour obtenir telle que :
C'est à dire exprimer en fonction de ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

svp, un petit coup de main ! :happy3:

[barbu23]

Ah zut, c'est facile, il suffut de poser :
:happy3:

[fatal_error]

nan j'y connais pas.

Mais a priori on peut utiliser une matrice de passage


avec

Sous réserve que les coeffs non nuls

par contre, je crois que la matrice B n'est pas orthogonale, car il faut que le déterminant de B vale 1 cqui est a priori pas le cas.

Sinon, t'as gram schmidt pour avoir des vecteurs normés et deux a deux orthogonaux.

[barbu23]

nan j'y connais pas.

Mais a priori on peut utiliser une matrice de passage


avec

Sous réserve que les coeffs non nuls

par contre, je crois que la matrice B n'est pas orthogonale, car il faut que le déterminant de B vale 1 cqui est a priori pas le cas.

Sinon, t'as gram schmidt pour avoir des vecteurs normés et deux a deux orthogonaux.

non, ma matrice est orthogonale mais pas orthonormale et son determinant est , le determinant est quant la matrice diagonale est orthonormale ! :happy: , c'est à dire : ! :happy3:

[fatal_error]

Le carré du déterminant d'une matrice orthogonale est égal à 1. Le déterminant d'une matrice orthogonale est donc égal à +1 ou -1.

deuxieme point

[barbu23]

Oui, c'est vrai ! :happy3:
Merci ! :happy3:

[Nightmare]

ok ! oui ! :happy3:
Connais tu la methode qui permet de passer d'une base orthogonale à une base orthonormal !

Si c'est vraiment ça ta question, il suffit simplement de diviser chaque vecteur de ta base de départ par leur norme, on obtient une base orthonormale (la norme est bien entendue celle associée à q)