Forme quadratique en somme de carré

[Mysterion]

Bonjour,

Je dois Decomposer en sommes de carres de formes lineaires indépendantes la forme quadratique suivante :

avec

J'ai appliqué le changement de variable et .

Mais je pense qu'il doit y avoir une factorisation plus simple qui mène au résultat que je ne vois pas.

Merci d'avance pour votre aide.

[euler21]

Bonjour
dans ta définition de la forme quadratique, c'est quoi les ??

[Mysterion]

Ben, les sont les coordonnées d'un vecteur qui appartient à l'espace de départ de l'application associée...

[euler21]

Si tu écris la matrice associée à Q dans la base canonique ça donne quoi ??
Au fait ta forme quadratique ressemble plus à une forme bilinéaire ...

[Mysterion]

Une matrice comme celle-là mais de dimension n ?

[Maxmau]

Bj
Une forme quadratique Q(x1,x2,…,xn) contenant le terme rectangle x1x2 peut s’écrire:
Q = (x1 + L1)(x2 + L2) + q
Où L1,L2 sont des formes linéaires en x3,x4,…,xn et q une forme quadratique en x3,x4,…,xn
En posant A = (x1 + L1) et B = (x2 + L2)
La relation 4AB = (A+B)² - (A-B)² permet de faire apparaître 2 carrés et de se ramener à (n-2) variables pour continuer la décomposition en carrés

Ici x1x2 + x2x3 + x3x4 = (x1+x3).x2 + x3x4
A = (x1+x3) et B = x2

[Mysterion]

Ok alors je considère les termes x1x2 et x2x3. J'obtiens :



Et après je fais quoi ? L'opération se réitère pour la forme quadratique de droite q(x3,...,xn) ? Donc je mets en place un raisonnement par récurrence ?

[Maxmau]

Ok alors je considère les termes x1x2 et x2x3. J'obtiens :



Et après je fais quoi ? L'opération se réitère pour la forme quadratique de droite q(x3,...,xn) ? Donc je mets en place un raisonnement par récurrence ?

OUI
Ds le deuxième carré ça doit être: x1 -x2 +x3

[Mysterion]

Ok, alors pour ça j'ai un peu du mal.

Si j'écris :

que l'oppération y1 = (x1 + x2 +x3) et xi = xi pour i 2 est changement de variable car la matrice exprimant (y1, x2,...,xn) en fonction de (x1,...,xn) est triangulaire. Donc inversible.

Donc par hypothèse de de récurrence n peut faire un chgt de coordonnées (x2,...,xn) = (y2,...,yn).

Donc la forme quadratque q en somme de carré est Q = (y1)^2 + (y2)^2+...

Je me rend compte qu'il y a problème...

Non, je ne sais pas...

[Maxmau]

Ok, alors pour ça j'ai un peu du mal.

Si j'écris :

que l'oppération y1 = (x1 + x2 +x3) et xi = xi pour i 2 est changement de variable car la matrice exprimant (y1, x2,...,xn) en fonction de (x1,...,xn) est triangulaire. Donc inversible.

Donc par hypothèse de de récurrence n peut faire un chgt de coordonnées (x2,...,xn) = (y2,...,yn).

Donc la forme quadratque q en somme de carré est Q = (y1)^2 + (y2)^2+...

Je me rend compte qu'il y a problème...

Non, je ne sais pas...

Tu compliques les choses il me semble

Je note L(x,y,z) = ½[x+y+z] et
q(x,y,z) = ¼[(x +y +z)²-(x- y +z)²] = L²(x,y,z) - L²(x,-y,z)
x1x2 + x2x3 = q(x1,x2,x3)
De même:
x3x4 + x4x5 = q(x3,x4,x5)
…etc…
En additionnant ces égalités, on obtient:
Cas général: n = 2p+1
x1x2 + x2x3 + x3x4+……+x2p.x2p+1=
q(x1,x2,x3) + q(x3,x4,x5) +……+ q(x2p-1,x2p,x2p+1)
En remplaçant q par sa valeur, on voit que Q est somme algébrique de 2p carrés de formes linéaires indépendantes. D'où la décomposition en carrés de Q
Je te laisse traiter le cas n =2p