Forme bilinéaire

par **Aspx** » 30 Juin 2008, 14:06

Bonjour!

Je suis sur un exo de bidouille sur les formes bilinéaires.

est un corps de caractéristique différente de

et

une forme bilinéaire sur

,

-ev. On suppose que
[CENTER]

[/CENTER]

Montrer que

est soit symétrique soit alternée.

Pour montrer le résultat j'aimerais montrer que la quantité

est nulle pour tout

. On conclurait par intégrité de K (un corps est toujours intègre).

L'idée serait de bidouiller un peu pour faire rentrer les

par bilinéarité et utiliser la propriété mais je vois pas vraiment quelle combinaison utiliser... :marteau:

Merci d'avance

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 14:23

Aspx a écrit:Pour montrer le résultat j'aimerais montrer que la quantité
est nulle pour tout . On conclurait par intégrité de K (un corps est toujours intègre).

non, il y a un problème de quantificateurs :

implique

(par intégrité comme tu dis)
mais n'implique pas

par **Antho07** » 30 Juin 2008, 14:26

Je sais pas si ta méthode aboutie.
J'avais vu cet exercice sous cette forme la:

Montrer que si w est une forme lineraire non nul sur E alors ker(w) est de codimension 1 dans E.

Maintenant on reprend l'hypothese de ton exo,
Soit

(resp

) l'application à droite (resp à gauche) de

Montrer que

Montrer que l'on peut se ramener au cas ou

est non degenere . (Considerer un supplementaire de

)

Supposons maintenant

non degenere,

Montrer que pour tout x de E, il existe

dans K tel que

(utiliser la premiere question)
Montrer que si x est non nul,

est non nul et unique

Soient maintenant x et y non nuls dans E. Montrer que

(On distinguera suivant si x et y sont colinaires)

On note maintenant

pour tout x de E.

Montrer que Pour tout x et y de E,

. En déduire que

. Conclure.

J'espere que j'ai rien oublie.
Je vais essayer de voir si on peut y arriver avec la méthode que tu suggeres, je reposte.

EDIT: Bon Leon1789 a déja répondu ....

par **Aspx** » 30 Juin 2008, 15:45

leon1789 a écrit:non, il y a un problème de quantificateurs :

implique

(par intégrité comme tu dis)
mais n'implique pas

Tout à fait exact... l'argument est donc inutilisable.

Montrer que Pour tout x et y de E, . En déduire que . Conclure.

On montrerait donc que

est symétrique :doh:

par **Antho07** » 30 Juin 2008, 16:45

Aspx a écrit:Tout à fait exact... l'argument est donc inutilisable.

On montrerait donc que est symétrique :doh:

Non.

on montrerait que

est soit symétrique soit antisymétrique.

On a

donc

par **Aspx** » 30 Juin 2008, 17:27

Erreur de frappe alors ?

par **Antho07** » 30 Juin 2008, 18:36

Aspx a écrit:Erreur de frappe alors ?

oups désolé :doh: :triste: :mur:

Effectivement tu as raison , il y a bien une erreur :++:
il faut lire

par **Antho07** » 30 Juin 2008, 21:51

J'ai retrouvé l'exercice sur le net, exo 6

http://math.univ-lyon1.fr/~bahloul/Enseignement/MathIVAlg_08/td6_formes_quad_antisym.pdf

Forme bilinéaire

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