Je sais pas si ta méthode aboutie.
J'avais vu cet exercice sous cette forme la:
Montrer que si w est une forme lineraire non nul sur E alors ker(w) est de codimension 1 dans E.
Maintenant on reprend l'hypothese de ton exo,
Soit

(resp

) l'application à droite (resp à gauche) de

Montrer que
=ker(\gamma))
Montrer que l'on peut se ramener au cas ou

est non degenere . (Considerer un supplementaire de
)
)
Supposons maintenant

non degenere,
Montrer que pour tout x de E, il existe

dans K tel que
=\lambda_{x} \gamma(x))
(utiliser la premiere question)
Montrer que si x est non nul,

est non nul et unique
Soient maintenant x et y non nuls dans E. Montrer que

(On distinguera suivant si x et y sont colinaires)
On note maintenant

pour tout x de E.
Montrer que Pour tout x et y de E,
=\lambda^{2} \phi(y,x))
. En déduire que

. Conclure.
J'espere que j'ai rien oublie.
Je vais essayer de voir si on peut y arriver avec la méthode que tu suggeres, je reposte.
EDIT: Bon Leon1789 a déja répondu ....