Forme bilinéaire

[kaya]

Salut à tous
j'ai là un exo qui a paru dans un examen

soit une forme bilinéaire symétrique sur de forme quadratique: avec
1/Réduire .Trouver une base du noyau de et un vecteur isotrope qui n'appartirnt pas à ce noyau.
2/Soit l'endo de de matrice Q avec:
-1 2 1
2 -4 1 =3Q dans la base canonique
-1 1 1

On pose pour tout
a/Montrer que est un produit scalaire sur
b/On munit du produit scalaire . Déterminer la matrice adjoint de dans .

Pour la première question j'ai trouver
et pour la base du noyau j'ai rien trouver car la matrice de est à déterminant non nul càd les vecteurs sont linairement indépendants!! Là je suis sûr que je fais faux mais je sais pas à quel propos. Car pour le vecteur isotrope on peut avoir si . Là je sais plus à quoi penser pour ce noyau

Pour la 2/ c'est pire j'sais pas s'il a plusieurs méthode pour cette démonstration mais moi j'ai essayé le calcul et c'est très étourdissant comme calcul mais j'ai quand même pu expliciter
je dis que ça doit être faux car elle n'est pas symétrique alors un produit scalaire devrait être symétrique :hein: n'est-ce pas? et là je sêche encore et pour la dernière j'ai l'idée mais ça dépend de l'expression de .

je demande donc votre aide, que vous me gidiez un peu pour m'avancer :help:

[jose_latino]

soit une forme bilinéaire symétrique sur de forme quadratique: avec
1/Réduire .Trouver une base du noyau de et un vecteur isotrope qui n'appartient pas à ce noyau.
Pour la première question j'ai trouvé
et pour la base du noyau j'ai rien trouver car la matrice de est à déterminant non nul càd les vecteurs sont linairement indépendants!!. Là je suis sûr que je fais faux mais je sais pas à quel propos.

Pour trouver la matrice de il faut regarder les indices des variables, par exemple le terme i,j de la matrice est le coeficient de

• Divisé par 2, si
• dans l'autre cas, c'est le même coefficient.

Avec cette procédure tu obtiendras la matrice symmétrique associée à . Vérifie que la matrice est:
.


C'est possible tranformer la condition à un système linéaire:
si et seulement si pour une base , ça veut dire, si est solution du système suivant:
, mais la matrice est inversible, car est inversible aussi. Alors le noyau de est l'espace nul. Je crois que l'idée de l'exercice est montrer que même si la matrice associée est inversible, l'espace isotropique n'est pas nécessairement trivial, comme tu as bien trouvé.

[jose_latino]

2/Soit l'endo de de matrice Q avec:
-1 2 1
2 -4 1 =3Q dans la base canonique
-1 1 1

Pour la 2/ c'est pire j'sais pas s'il y a plusieurs méthode pour cette démonstration mais moi j'ai essayé le calcul et c'est très étourdissant comme calcul mais j'ai quand même pu expliciter
je dis que ça doit être faux car elle n'est pas symétrique alors un produit scalaire devrait être symétrique :hein: n'est-ce pas? et là je sêche encore et pour la dernière j'ai l'idée mais ça dépend de l'expression de .

Il y a une chose que tu dois remarquer:
Si tu as un produit interne (par exemple le canonique en ), c'est pas difficil montrer qu'il y a une bilinéaire associé a chaque matrice:
, où . Mais c'est facile à voir que cette application n'est pas injective (mais si surjective). Néanmoins, pour chaque matrice il existe une unique transformation symmétrique , telle que (*). C'est la clasique descomposition d'une matrice comme somme d'une matrice symmétrique et une antisymmétrique qui te donne la matrice symmétrique telle qu'il s'accomplit (*). Comme il existe toujours, normalement on travaille avec les matrices symmétriques, mais si celle-ci n'est pas symmétrique, on peut trouver facilement sa matrice associée. Si tu as quelque doute, n'hésite pas à nous consulter. Bon courage!

[kaya]

Merci beaucoup pour tes réponses José, pour la première question je pensais à la même chose mais je doutais trop et là tu me rassure et pour la matrice de j'ai touvé la même chose. Mais pour ton 2è poste je ne comprend rien, en quand j'ai calculé j'ai trouvé une expression qui n'est pas un forme symétrique et je ne sais pas si je comprends quand même ce que tu dis mais est-ce: trouver une matrice semblable à celle de qui serait elle symétrique en tout cas si c'est le cas ca me semble assez complexe pour le reste de l'exo.
Et si quelqu'un a d'autres propositions ce seront les bienvenues

[tize]

Salut à tous
j'ai là un exo qui a paru dans un examen

soit une forme bilinéaire symétrique sur de forme quadratique: avec
1/Réduire .Trouver une base du noyau de et un vecteur isotrope qui n'appartirnt pas à ce noyau...

Je dois dire que je trouve cela quand même bizarre... demander une base du noyau alors que le noyau vaut {0}...?! Je trouve ça franchement même completement tordu :doh: (quelle est la base ? on aurait mieux fait de demander de trouver le noyau) ...
J'en profite pour faire remonter ce post et aussi pour savoir d'où vient cet exam stp Kaya.

[jose_latino]

Mais pour ton 2è poste je ne comprend rien, en quand j'ai calculé j'ai trouvé une expression qui n'est pas un forme symétrique et je ne sais pas si je comprends quand même ce que tu dis mais est-ce: trouver une matrice semblable à celle de qui serait elle symétrique en tout cas si c'est le cas ca me semble assez complexe pour le reste de l'exo.
Et si quelqu'un a d'autres propositions ce seront les bienvenues

Je n'ai pas dit que c'est une matrice semblable à celle-ci.

Il y a un résultat que normalment se pose comme exercice:
Démontrer que chaque matrice de ordre n se peut exprimer de façon unique comme la somme d'une matrice symmétrique et une autre antisymmétrique.

On peut appeler à la matrice symmétrique, la partie symmétrique de cette matrice. C'est pas difficile de eprouver que la matrice et sa partie symmétrique définent la même forme bilinéaire.

Il y a une formule pour la partie symmétrique d'une matrice : .