Forme bilinéaire

par **yos** » 18 Mai 2007, 16:53

Bonjour.
Voici une question pour laquelle j'ai une réponse partielle :
Soit

une forme bilinéaire vérifiant :

.
Démontrer que B est symétrique ou alternée.

par **fahr451** » 18 Mai 2007, 17:31

hello yos
pas d hypothèse de dimension?

par **yos** » 18 Mai 2007, 17:40

Je crois pas mais si t'as une preuve en dimension finie c'est déjà ça. Je sens que tu vas nous ressortir les Eij...

par **fahr451** » 18 Mai 2007, 17:42

j'ai pas encore réfléchi mais je voulais savoir le cadre et puis c'est rassûrant la dimension finie

par **yos** » 22 Mai 2007, 13:26

Devant le succès de cette question je mets ce que j'ai trouvé :

a) si pour tout x, B(x,x)=0, alors B est alternée.

b) sinon il existe x tel que

.
Dans l'égalité générale

, on choisit

de sorte que

. On en déduit

, c'est-à-dire

et donc

.

Ainsi j'arrive prouver la symétrie pour tous les couples (x,y) tels que

.
Je dois rater un truc simple.

par **fahr451** » 22 Mai 2007, 13:45

dans le cas où b(x,x) = 0

si b(y,y) non nul ok

si b(y,y) = 0
alors si b(x+y,x+y) non nul on a b(x+y,x) = b(x,x+y) et le résultat

si b(x+y, x+y) nul on obtient b(x,y) = - b (y,x)

"reste" à montrer qu'ils sont nuls

il faudra bien à un moment utiliser un point z avec b(z,z) non nul

Forme bilinéaire

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