Fonctionnelle

[bentaarito]

bonsoir,

Je débute avec les fonctionnelles et j'ai un peu du mal avec la manipulation de ces objets.

donc sur l'exemple suivant je veux savoir si j'ai bon ou pas.

enoncé:
https://www.dropbox.com/s/dmgzze5l6i4d3n5/2012-10-16%2019.19.29.jpg


ce qui me gène, c'est que j'arrive pas à distinguer fonctionnelle et composée.
par exemple pour f, ai-je le droit de parler de sa dérivée f' au sens usuel?

[bentaarito]

je repose autrement ma question:

quand est ce que a-t-on f'(y).h= ? ( das le premier membre , f' existe et j ai le droit d'écrire f'(y) tout court )

[arnaud32]

que designe ? un produit scalaire?
que designe a.b?

[wserdx]

je repose autrement ma question:

quand est ce que a-t-on f'(y).h= ? ( das le premier membre , f' existe et j ai le droit d'écrire f'(y) tout court )

functional derivative
Je dirais quand f est polynomial ?

[bentaarito]

je pense que j'étais pas assez clair sur ma première question, donc je reformule:

quand je prends f: , a-t-on le droit d'écrire
f'(y)=...?

Pour moi la réponse est oui, car si je prends , pour ,, je peux écrire .

Mais alors je comprends pas dans quel cas, f' n'a pas de sens ( dans le cours, quand on a vu la dérivée au sens de Gâteaux , je me rappelle que le prof a dit qu'on a plus le droit d'en parler en général, mais plutôt de pour w une direction donnée de dérivation )

Je me rends compte que dans l'exemple que j'ai donné, les deux définitions sont équivalentes , car si je considère l'application linéaire tangente ..

donc je me demande si y a des cas ou j'ai pas le droit de parler de f' tout court. Merci d'avance.

[bentaarito]

Je bloque sur la question 3 pour montrer la non -convexité de :hum: :mur:
Une piste?

[bentaarito]

up up :mur:

[wserdx]

Ben, justement dans le cas de , tu ne peux pas directement écrire .
Que trouves-tu?

[bentaarito]

donc ça dépend de la forme de la fonctionnelle? ( oui je vois que pour je peux pas effectivement..)

je trouve pour
et pour

[bentaarito]

ainsi donc la fonctionnelle est convexe sur

Pour la stricte convexité, je prends
donc si , car sinon w'=0 presque partout, donc constante

Pour la -convexité je vois pas comment la montrer, même si mon intuition me dit qu'elle l'est pas mais j'arrives pas à exhiber un exemple pour la contredire

[wserdx]

Tu ne peux pas utiliser la dérivée classique lorsque la fonctionnelle contient des dérivées n-ièmes ou des primitives n-ièmes.
Pour la convexité, tu as essayé avec des fonctions qui tendent vers des diracs ? (je ne sais pas si ça marche)

[bentaarito]

c'est exactement ça ce qui me gène car si j'arrive à majorer le y' la fonctionnelle sera alpha-convexe.

mais il existe des fonctions dont la dérivée explose ( comme Heaviside dont la dérivée est le Dirac, mais pas dans malheureusement ).

mais j'arrive pas à construire un w de qui donnera (J''(y)w,w)=0 ou au moins
pour tout a>0, (J''(y)w,w)<a ( norme )

[bentaarito]

pas d'idées? :triste: :triste:

[bentaarito]

Si , peut-on majorer y'??

[wserdx]

Quelle serait l'inégalité que cherches à vérifier?
Est-ce que cette majoration peut servir ?

[bentaarito]

malheureusement non , c'est dans l'autre sens que je cherche à montrer que l'inégalité ne peut pas avoir lieu pour tout, i.e:
je veux montrer

[wserdx]

Je comprends mais je ne vois pas bien d'où sort le sous l'intégrale ?

[bentaarito]

c'est la norme de w dans

pour montrer l' -convexité faut montrer que

[wserdx]

malheureusement non , c'est dans l'autre sens que je cherche à montrer que l'inégalité ne peut pas avoir lieu pour tout, i.e:
je veux montrer

Peux-tu prendre
, soit

[bentaarito]

dans ce cas faut vérifier que ce qui n'est pas forcément vrai je pense :hum: