Fonction de C vers C

[brebre54]

Petit exercice, qui, comme à chaque fois que je vois des "i" me pose quelques problèmes ...


Soit la fonction de C vers C, qui à un nombre complexe Z associe, lorsque c'est possible, le nombre complexe f(Z) tel que : f(Z) = Z²/(Z-2i)

1. Déterminer le domaine de définition D de f

ça normalement ça fait C\{2i} si je ne m'abuse ...

2. Soit h un nombre complexe. Discuter suivant les valeurs de de h le nombre d'antécédent(s) de h par f.

3.Déterminer l'image f(D) de D par f. La fonction f est elle une application surjective de D dans C ?

4. f est-elle un application injective de D dans C ?



Bon, bah, la seule vraie question difficile est la 2, je pense que la suite découle plutot rapidement après ...

Mais je ne vois pas du tout comment commencer ...
Je voulais voir les variation de Re(f) et de Im(f) mais le problème c'est que j'ai posé h = a+bi du coup je dois dériver par rapport à deux paramètres et ça me parait bien délicat et sans suite obligatoire ...

J'ai des lignes de calcules et n'arrive pas vraiment à conclure ...


Merci de votre aide ^^

[Nightmare]

Salut,

étudier les variations pour trouver les antécédents, oui, mais est-ce la méthode la plus naturelle? Quelle est la définition d'un antécédent? Ne vois-tu pas une autre méthode beaucoup plus proche de celle-ci ?

[brebre54]

L'antécédent de h est l'élément de D qui a pour image h dans C par la fonction f ...

et ...

[Nightmare]

Les antécédents de h sont donc les z tels que f(z)=h... Une recherche d'antécédent, c'est résoudre une équation, et a priori pour résoudre une équation, tu conviendras qu'une étude de variation n'est pas l'idée la plus immédiate (si je te demande de résoudre x²=h....)

[brebre54]

Tilt dans ma petite tête ^^

Merci beaucoup, c'est vrai que ça me parait plus simple de résoudre une équation, même avec des complexes (que j'aime tant je le rappelle ) que de me taper une dérivée plutôt ... délicate et "arrache-cheveux" xD

Bonne soirée, et encore merci ^^