Fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivée

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math71
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fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivée

par math71 » 12 Jan 2019, 18:15

Bonjour,
Dans un premier temps je devais dire s'il existe des fonctions dérivables telles que f tende vers 0 en + mais f' ne tende pas vers 0. Là, j'ai trouvé: j'ai pris la fonction définie par f(x)=
On me demande ensuite : a) peut-on trouver une telle fonction f positive? b) décroissante?
a) je pense qu'on peut en trouver, mais je n'arrive pas à donner une expression algébrique. Mon idée est d'imaginer une fonction qui oscillerait suivant la courbe de la fonction qui à x associe 1/x en restant positive et donc qui tendrait vers 0 en . Voyez-vous ce que je veux dire?
Pour b) je pense que la réponse est non, mais je ne vois pas comment le démontrer.
Merci d'avance pour vos indications.



Black Jack
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par Black Jack » 12 Jan 2019, 21:31

f est sensée être définie dans quel domaine ?

Si c'est sur R, alors f(x) = cos(x²)/x ne convient pas.

8-)

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Ben314
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par Ben314 » 13 Jan 2019, 00:36

Salut,
Pour la question a), effectivement, si tu prend une courbe qui oscille de plus en plus vite entre la droite y=0 et la courbe d'une fonction positive qui tend vers 0, ça te donnera un contre exemple.
Comme fonction positive qui tend vers 0, la première qui vient à l'esprit, c'est (*) et, comme fonction qui oscille, la première qui vient à l'esprit, c'est la fonction sinus (ou cosinus). Sauf qu'elle oscille entre -1 et 1 donc pour avoir quelque chose de positif, il faut ajouter 1.
Et ça te dit qu'un truc qui devrait marcher, c'est où le est là pour que ça oscille de plus en plus vite.

Sinon, concernant le b), c'est de nouveau faux : imagine une fonction (quasi) constante sur de larges intervalles mais qui descend de façon très soudaine (et pendant très peu de temps) pour passer d'un intervalle au suivant.
Après, je sais pas si c'est facile d'en trouver une sous la forme d'une unique formule , mais en la définissant "par cas", c'est élémentaire.

(*) Si tu veut que la fonction soit définie sur R tout entier, tu peut prendre à la place voire même si tu veut avoir exactement le même comportement que en . De toute façon, ça changera pas grand chose aux arguments qui suivent.
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math71
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 09:30

Merci.
Pour Black Jack, la question était posée telle quelle, donc j'imagine que l'essentiel est que la fonction soit définie au voisinage de +infini, donc R+* ça convient.
Pour Ben314, merci pour l'expression de la fonction. J'avais pas pensé à juste ajouter 1 pour que cela reste positif... Par contre j'arrive pas à imaginer une fonction qui descende de manière "soudaine" càd pour que la dérivée existe et ne tende pas vers 0 et que la fonction tende quand même vers 0...

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Ben314
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par Ben314 » 13 Jan 2019, 11:15

On fixe une suite strictement décroissante de réels positifs telle que ainsi qu'une suite de réels (voire d'entiers) tous strictement plus grand que 1.
On considère la fonction définie pour tout par :

1) Montrer que est sur et évaluer pour .
2) Montrer que est strictement décroissante sur et que .
3) Pour évaluer le max. de sur puis en donner un équivalent lorsque .
Modifié en dernier par Ben314 le 13 Jan 2019, 11:42, modifié 4 fois.
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Black Jack
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par Black Jack » 13 Jan 2019, 11:28

Salut,

Si le domaine de définition n'est pas précisé ... pourquoi ne pas prendre R ?

C'est aussi facile et moins restrictif que sur R*+

f(x) = (2 + cos(e^(2x)))/e^x

f(x) > 0 sur R

f'(x) = -2.e^x.sin(e^2x)) - e^-x . cos(e^(2x))

lim(x-->+oo) f(x) = 0+

lim(x--> +oo) f'(x) n'est pas 0

8-)

math71
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 11:54

Bonjour,
Merci Ben314.
J'ai fait votre exercice, c'est long à retranscrire, j'essaie d'insérer mon brouillon:
J'ai cliquer sur envoyer (après avoir joint mon brouillon en pdf) mais je ne vois pas où il s'est mis...
Apparemment je ne peux pas le mettre en pdf. quels sont les logiciels acceptés sur le site?
En fait j'ai réussi à montrer que f est continue et dérivable en n pour tout n de N donc que f est continue et dérivable sur R+, que f est décroissante sur R+ (la dérivée est négative), que sa limite en + est 0, mais je n'arrive pas à déterminer la limite de un.
Pouvez-vous me rappeler s'il vous plait comment on fait les indices en tex, j'ai oublié, excusez-moi. Il est alors difficile de vous mettre sans indice la formule que j'ai pour un...

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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 12:04

Merci Black Jack.

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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 12:18

J'ai une idée.
Si je suppose que la suite( bn) tend vers l'infini, alors ln(1-bn) est équivalent à bn donc un est équivalent à
(an+1-an)(bn+1)e
donc la limite va dépendre de la "taille" de an par rapport à bn.
et donc la limite de un n'est pas la même suivant les cas donc ce qui prouve que f' n'a pas de limite en l'infini.
Il faut donc juste que j'arrive à trouver 2 cas de suites (an) et (bn) qui donnent des limites différentes pour un.

Black Jack
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par Black Jack » 13 Jan 2019, 12:34

"Pouvez-vous me rappeler s'il vous plait comment on fait les indices en tex"

Pour écrire par exemple, taper ceci : U_{12} entouré des balises Tex

8-)

math71
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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 12:47

Super, merci beaucoup!

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Re: fonction qui tend vers 0 en l'infini et et pas sa dérivé

par math71 » 13 Jan 2019, 13:03

C'est bon, j'ai réussi En prenant = 1/n et = , j'obtiens
qui tend vers - infini. alors que pour quelconque et = 2 j'obtiens qui tend vers 0 donc f' n'a pas de limite en l'infini et c'est donc bien un contre-exemple.
Encore merci beaucoup!

 

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