Fonction holomorphe

[lisonn]

Bonjour,

On me demande de déterminer toutes les fonctions holomorphes sur D:=D(1,1) telles que f(1+1/n)=1/n² pour tout entier n>=2.
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre....

[Ericovitchi]

dérives là, tu as le droit puisqu'elle est holomorphe.
et traiter f'(1+1/n)=-1 va être plus simple

[lisonn]

Je ne comprends pas pourquoi ou plutôt comment on arrive à f'(1+1/n)=-1?
J'ai f'(1+1/n)= -2/n^3 non?

[Ben314]

Salut,
Ici, l'énoncé te dit que, si alors on a : .
Il peut donc venir à l'esprit de poser (comme par hasard) .
Que peut on dire des zéros de la fonction holomorphe g ?
Qu'en déduit-on ?

[Ericovitchi]

oui je me suis trompé, j'ai écris une bêtise

[lisonn]

Que peut on dire des zéros de la fonction holomorphe g ? Qu'en déduit-on ?

Pour la fonction holomorphe g, si elle n'est pas nulle, l'ensemble de ses zéros est discret non?
Je ne vois pas ce que je peux en déduire.....

[ffpower]

Ben t'a presque tout dit. Ici c'est quoi les zeros de g? est ce qu'ils sont discrets?

[Ben314]

Ben, justement, par construction, la fonction g s'annule au moins pour tout les z de la forme z=1+1/n et, par continuité, elle s'annule donc aussi pour z=1 (tout ça est bien dans le disque D(1,1)).
As-tu l'impression que l'ensemble formé de 1 et des 1+1/n est discret ?

[Ericovitchi]

Pour reprendre mon idée de dérivé, je me demande si on a le droit de faire ça :
f(1+1/n)=1/n² --> -f'(1+1/n)/n²=-2/n³ --> f'(1+1/n)=2/n =2 --> --> --> -->
(car on avait posé z=1+1/n --> n=1/(1-z))

Donc ou f(z)=[1/(1-z) + C]² j'espérais déterminer C en disant que f(1)=0 mais c'est raté, il doit y avoir des trucs qui ne vont pas dans ce résultat :hein2:

[Arkhnor]

Bonjour.

On a certainement pas le droit de dériver en ne connaissant les valeurs de f qu'en des points isolés ...
La preuve en est en vérifiant avec qui est la solution du problème ...

Si tu as une fonction qui vaut pour tout entier n, tu vas en déduire que ??

[lisonn]

Merci pour les réponses. On a que l'ensemble des zéros n'est pas discret donc la seule fonction possible est . Ok j'ai compris mais du coup une autre question me vient :

Existe t-il le même genre de problème pour lequel on aurait que l'ensemble des zéros est bien discret? Et dans ce cas, comment trouve t-on f?

[Ben314]

Si au départ l'ensemble des points sur lesquels on connait la fonction (dans cet exo, on connait la fonction sur les z=1+1/n) n'a pas de valeur d'adhérences, il est fort possible qu'il y ait une énooorme infinité de fonction ayant les propriétés.

Par exemple, peut tu me donner plusieurs fonctions f holomorphes sur C tout entier et telles que f(n)=n pour tout n dans Z ?

[lisonn]

Je crois que c'est plus clair maintenant, merci Ben314!

Par exemple, peut tu me donner plusieurs fonctions f holomorphes sur C tout entier et telles que f(n)=n pour tout n dans Z ?

Heu par exemple , ou encore ,doit y'en avoir d'autres....

Mais il y a encore un point que je ne suis pas sûre d'avoir compris, c'est l'histoire des valeurs d'adhérences. Ici ce qui fait que les choses ne marchent pas c'est le fait de connaître la fonction pour z=n i.e seulement pour les entiers naturels et donc on ne peut pas trouver une suite de points qui s'approche indéfiniment de la limite du fait que l'ensemble soit discret (donc pas de valeur d'adhérence). En revanche pour z=1+1/n l'ensemble n'étant pas discret on peut trouver une valeur d'adhérence qui est 1. Est ce bien ça? Je ne sais pas si je suis très claire!

[Ben314]

Oui, c'est parfaitement ça.
Il faut aussi faire attention à ce que le point adhérent (ici 1) fait bien parti de l'ensemble de définition de la fonction f.
Si on demandait des fonctions f holomorphes sur D(2,1) telles que
f(1+1/n)=1/n² [vérifie bien que 1+1/n est dans D(2,1) mais que la limite 1 n'y est pas] alors il y aurait des tas de fonctions qui marchent : par exemple toutes celles de la forme avec g une quelconque fonction holomorphe sur D(2,1).

Vérifie que toutes ces fonctions conviennent et essaye de voir comment je les ait "fabriquées"