Fonction harmonique

par **Kouli** » 11 Avr 2007, 18:37

Bonjour, je n'arrive pas à trouver toutes les fonctions u : R² -> R de classe C² harmoniques à variables séparées,
c'est à dire du type u(x, y) = f(x)g(y).

Et ensuite je dois trouver que cette recherche en coordonnées polaires u(r, teta)= f(r)g(teta) conduit à l'équation de Bessel (avec n appartenant à N) : r²f" + rf'-n²f = 0.

J'ai calculé le laplacien de u(x,y), mais cela ne me conduit à rien, je trouve :

f"(x) g(y) + g"(y) f(x) = 0

et en polaire,

f"(r) g(teta) + 1/r f'(r) + 1/r² g"(teta) f(r) = 0

Quelqu'un pourrait il m'aider?

par **fahr451** » 11 Avr 2007, 18:43

bonsoir

f " (x) g(y) + f (x) g " (y) = 0 au contraire me semble très prometteur

à condition de se placer sur un ouvert où u ne s 'annule pas

f " (x) /f(x) = - g " (y) /g(y) et ces deux fcts sont donc constantes

on tombe donc sur deux équa diff ordinaires

par **Kouli** » 11 Avr 2007, 18:51

oui, j'aurais peut être dû aller plus loin dans mon raisonnement, mais je ne comprends pas deux choses: comment peut on dire que les deux fonctions sont constantes? Je ne vois pas comment résoudre une équa diff dans laquelle on cherche deux fonctions ou inconnues!?

En tout cas, merci de ce début de réponse!

par **fahr451** » 11 Avr 2007, 18:54

on fixe x0 on a pour tout y

- f " (x0) / f(x0) =k = g " (y) /g (y) ce qui prouve que g " / g est constante égale à k
idem en fixant y0

f " (x) /f(x) = - k

et on résoud suivant la valeur de k

par **Kouli** » 11 Avr 2007, 19:01

ok merci !

Tu as l'air de connaitre pas mal de choses en maths! c'est ton métier?

par **fahr451** » 11 Avr 2007, 19:51

j'ai bricolé un peu de maths de temps à autre

par **Kouli** » 13 Avr 2007, 22:01

Drôle de bricolage!! tu es bien le premier que je rencontre à bricoler des maths! en tout cas merci pour ton aide!

par **serge75** » 14 Avr 2007, 02:09

Au moins le risque d'accident est moindre qu'en bricolant avec un marteau et des clous... :briques:

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