Fonction continue monotone sur au moins un intervalle

par **lapras** » 08 Jan 2009, 20:11

Bonsoir,
j'ai une question,
une fonction continue est elle toujours monotone sur au moins un intervalle ?
L'intuition me dit oui, mais je me méfie dans ce genre de trucs, sachant qu'il existe des fonctions continues dérivables nul part !

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 20:13

Salut :happy3:

Eh non, on a des montres continus partout et monotones nulle part !

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 20:17

Je t'en donne une que j'avais étudiée en DM, la fonction de Blancmange, un truc du style :

(oui je suis d'accord, c'est laid !)

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 20:18

Une fonction dérivable nulle part est forcément monotone sur aucun intervalle (non trivial) => exo !

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 20:25

Mieux que ça, une fonction strictement monotone est dérivable presque partout (au sens de Baire)

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 20:29

Certes mais on s'éloigne un peu du sujet là :++:

par **ffpower** » 08 Jan 2009, 20:35

ThSQ a écrit:Une fonction dérivable nulle part et forcément monotone sur aucun intervalle (non trivial) => exo !

Tu as une démo élémentaire?(sans utiliser de Lebesgue)

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 20:36

Pourquoi du Lebesgue ffpower? Baire suffit non?

par **ffpower** » 08 Jan 2009, 21:12

ah?vas y met,je connaissais pas(et je suis toujours friand de demos utilisant baire :we: )

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 21:22

J'ai essayé de refaire la démo que j'avais en tête, ça ne marche pas, j'ai essayé de considérer l'ensemble des

et d'appliquer Baire mais ça ne mène à rien.

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 22:27

ffpower a écrit:Tu as une démo élémentaire?(sans utiliser de Lebesgue)

Oui ! c'est niveau sup.

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 22:33

Niveau sup LLG/HIV ou niveau sup sup ? :lol3:

Je suis preneur en tout cas, si tu peux mettre les grandes lignes !

par **ffpower** » 09 Jan 2009, 20:36

alors cette demo?on va donc devoir chercher par nous meme? :cry:

par **quinto** » 09 Jan 2009, 20:45

lapras a écrit:Bonsoir,
j'ai une question,
une fonction continue est elle toujours monotone sur au moins un intervalle ?
L'intuition me dit oui, mais je me méfie dans ce genre de trucs, sachant qu'il existe des fonctions continues dérivables nul part !

Bonjour, c'est faux et c'est un bel exemple d'application du théorème de Baire.
Si je retrouve l'exercice qui prouve le contraire, je te le soumettrais.

par **ffpower** » 09 Jan 2009, 21:03

je pense qu au depart le mieux est de voir l exemple classique(che pas s il a un nom).On part d une fonction "pic"(affine par morceaux,qui fait une monté puis qui descend),puis sur les 2 segement de ce pic,on crée un nouveau pic,puis sur chaque segment,on cree a nouveau un pic,ect..de maniere a obtenir a la limite une fonction continue nulle part monotone(et nulle part dérivable accessoirement^^).Bon,c est peut etre pas tres clair juste avec des mots,je mettrai un lien si j en trouve un.En tout cas je trouve que c est mieux que d utiliser Baire,car c est constructif et visuel.Cela dit,la demo dont parle quidam est interessante aussi,car elle montre la puissance du lemme de Baire..

par **quinto** » 09 Jan 2009, 21:13

Je pense que ta construction est assez intuitive ffpower et naturelle, un truc genre flocon de van koch par exemple. Le problème est de montrer que cela converge bien vers une fonction.

A noter que le résultat est faux mais surtout que les fonctions qui sont monotones sur au moins un intervalle sont moins nombreuses dans un certain "sens" un peu ambigu il faut le reconnaitre.

par **ffpower** » 09 Jan 2009, 21:29

quinto a écrit:A noter que le résultat est faux mais surtout que les fonctions qui sont monotones sur au moins un intervalle sont moins nombreuses dans un certain "sens" un peu ambigu il faut le reconnaitre.

Tres ambigu,ouais,et j aimerai bien un jour connaitre une notion permettant d affirmer ceci rigoureusement,a l instar de la théorie de la mesure qui permet définitivement de dire que les nombres normaux sont plus nombreux que les autres,par exemple.Il faudrait un équivalant de la théorie de la mesure pour l analyse fonctionnelle(bon p-e que ca existe deja en fait).Pour l instant on peut bien affirmer qu un Gdelta dense est plus gros que son complémentaire,mais bon,c est pas super convainquant lol

par **quinto** » 09 Jan 2009, 21:40

Oui mais c'est une notion topologique d'etre gros ou petit, c'est la la nuance...

Pour ce qui est de mesure tu peux en mettre sur n'importe quel espace en fait. J'ai vu une fois un type qui faisait des intégrales sur des espaces de mesures. En gros le gars intégrait des mesures contre des mesures sur un espace de mesures, bref j'ai rien compris ...

par **Doraki** » 09 Jan 2009, 21:46

ffpower a écrit:je pense qu au depart le mieux est de voir l exemple classique(che pas s il a un nom).On part d une fonction "pic"(affine par morceaux,qui fait une monté puis qui descend),puis sur les 2 segement de ce pic,on crée un nouveau pic,puis sur chaque segment,on cree a nouveau un pic,ect..de maniere a obtenir a la limite une fonction continue nulle part monotone(et nulle part dérivable accessoirement^^).Bon,c est peut etre pas tres clair juste avec des mots,je mettrai un lien si j en trouve un.En tout cas je trouve que c est mieux que d utiliser Baire,car c est constructif et visuel.Cela dit,la demo dont parle quidam est interessante aussi,car elle montre la puissance du lemme de Baire..

Ben c'est exactement ce que fait la fonction de Blancmange donnée par Nightmare
mais ptetre en pas assez méchant ceci dit.

par **skilveg** » 09 Jan 2009, 21:55

Au sujet de la courbe du blanc-manger (du nom d'un dessert et pas d'un hypothétique mathématicien):

http://www.mathcurve.com/fractals/blancmanger/blancmanger.shtml

http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html

Fonction continue monotone sur au moins un intervalle

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