Continue en 0 ssi continue

[melreg]

Bonjour,

Je me demande comment on montre ce classique dans un cadre général :

Soient X,Y deux espaces vectoriels topologiques, f:X -> Y linéaire.
Alors f est continue si et seulement si elle est continue en 0.

A priori, je n'ai pas très envie de "sortir" les suites car alors il faudrait une notion de convergence, non? Enfin, je ne sais pas... c'est pour ça que vous lisez ce message!

Merci d'avance

[yos]

Bonjour.
La linéarité est une propriété très forte. Et un voisinage V de x n'est autre que x+U où U est un voisinage de 0.

[melreg]

Oui, j'y avais pensé, mais, dans mon cours, après ce théorème vient une remarque qui dit :
Une conséquence : E ouvert <=> E+a ouvert pour tous a dans l'evt.

Du coup, je ne sais pas si on ose utiliser ce fait (mais il me paraît vrai).

[ThSQ]

mais il me paraît vrai

Il l'est clairement par continuité de '+'

[yos]

Une conséquence : E ouvert E+a ouvert pour tous a dans l'evt.

Tu veux dire que c'est mis en conséquence de "continue continue en 0" ?