Intervalle dans une fonction continue

[dengnarienfaitdemal]

Bonjour,

Soit d:[0,4]->[0,90] une fonction continue avec d(0)=0 et d(4)=90.

1. Il faut montrer qu'il existe une intervalle d'amplitude 2 dans D(d) pour que son image est d'amplitude 45 dans Im(f).
2. Il faut montrer qu'il existe une intervalle d'amplitude 4/3 dans D(d) pour que son image est d'amplitude 30 dans Im(f).
3. Ensuite, généraliser pour n'importe quelle amplitude.

La première question est déjà fait : soit F(t)=d(t+2)-d(t)-45.
F(0)+F(2)=d(0+2)-d(0)-45+d(2+2)-d(2)-45=90-45-45=0
F est continue donc par le TVI, il existe 0<=c<=2 pour que F(c)=0 alors d(t+2)-d(t)=45

Ce raisonnement ne marche pas avec la deuxième question. Si je pose F(t)=d(t+4/3)-d(t)-30, j'ai
F(0)+F(8/3)=d(4/3)-d(8/3)+30
Ou F(0)=d(4/3)-30 et F(2)=90-d(8/3)
Evidemment F(2)<0 mais je peux pas dire F(0)>0
Donc je suis bloqué

Pour la troisième question, je pose F(t)=d(t+t_0)-d(t)-d_0 avec 0<=t<=4-t_0, 0<=t_0<=4 et 0<=d_0<=90
F(0)=d(t_0)-d_0
et F(4-t_0)=90-d(4-t_0)-d_0
Je suis aussi bloqué

Merci d'avance pour vos conseils

[hdci]

Bonjour,

Tu n'es peut-être pas francophone : "intervalle" est masculin, et après "pour que" on doit mettre le subjonctif ("pour que l'amplitude soit...").

Pour la première question, tu as démonté qu'il existe tel que

Mais cela ne prouve pas que d([c,c+2]) est un intervalle d'amplitude 45 : rien ne dit que la fonction est croissante par exemple, il y a peut-être un t compris entre c et c+2 et dont l'image est supérieure à 45+d(c).

Je partirai plutôt avec cette méthode : on considère [0;2] : si son image est d'amplitude 45, tant mieux, si son image est d'amplitude strictement inférieure à 45, c'est donc [0;y] avec y<45, donc l'image de [2;4] est d'amplitude strictement supérieure à 45 et par on utilise alors la continuité pour montrer qu'il existe un t tel que l'image de [t,t+2] est exactement d'amplitude 45 (considérer la borne inférieure des t pour lesquels [t,t+2] a une amplitude strictement supérieure à 45).

Probablement le même principe pour les deux autres questions.

[dengnarienfaitdemal]

d est croissante

Excusez-moi pour ne pas l'avoir dit

[hdci]

Alors pour le cas 4/3, je procèderais comme suit

(1) si d([0,4/3]) est un intervalle d'amplitude 30, alors tant mieux
(2) si d([0,4/3]) est un intervalle d'amplitude inférieure strictement à 30 il existe alors un t tel que d([t,t+4/3]) est supérieur à 30, en effet, dans le cas contraire, on aurait d(4/3)<30, donc d(8/3)<60 et d(4)<90. On considère alors la borne inférieure des t vérifiant d([t,t+4/3]) et on montre avec la continuité que l'amplitude de l'image est exactement 30.
(3) si d([0,4/3]) est d'amplitude strictement supérieure à 30 (donc d(4/3)>30), on raisonne de la même façon en montrant qu'il existe un intervalle d'amplitude 4/3 dont l'image est d'amplitude strictement inférieure à 30.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Une variante :
Soit la fonction définie par pour .
1°) Que peut-on dire de l'image de par ?
2°) Quelle est la moyenne arithmétique de , , ?
3°) Conclure.

[dengnarienfaitdemal]

Bonjour,

Une variante :
Soit la fonction définie par pour .
1°) Que peut-on dire de l'image de par ?
2°) Quelle est la moyenne arithmétique de , , ?
3°) Conclure.

1) g(0)=f(4/3) et g(8/3)=90-f(8/3), et comme f est croissante et continue et g est continue alors 90-f(8/3)<=f(4/3) g([0,8/3])=[90-f(8/3),f(4/3)]
2) (g(0)+g(4/3)+g(8/3))/3=90/3=30
3) D'après le TVI, il existe 0<=c<=8/3 tel que g(c)=30 donc f(c+4/3)-f(c)=30 donc il existe un intervalle d'amplitude 4/3 qui est partie de D(f) tel que son intervalle image par f est d'amplitude 30

[GaBuZoMeu]

Ce n'est pas la réponse que j'attendais pour le 1°).
D'ailleurs, rien ne dit que la fonction de départ, (d dans ton énoncé, et que j'ai malencontreusement appelée f) est croissante.
Mais g est continue, et l'image d'un intervalle fermé borné par une fonction continue est ...

[dengnarienfaitdemal]

est aussi un intervalle fermé borné donc g([0,8/3])=[m,M] avec m=inf g([0,8/3]) et M=sup g([0,8/3]) ?

[GaBuZoMeu]

Oui, un intervalle fermé borné.
Tu as répondu correctement à 2°.
Vois-tu alors comment conclure ?

[dengnarienfaitdemal]

On utilise le TVI qui assure l'existence de 0<=c<=8/3 pour que F(c)=30 alors f(c+4/3)-f(c)=30