Famille génératrice

[Pierrot75]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à comprendre la méthode pour montrer qu'une famille est génératrice. J'ai essayé de reprendre l'exemple de mon cours pour y parvenir, mais toujours sans succès. Pourriez-vous m'expliquer la méthode à partir de cet exemple?

Il fallait montrer que les deux matrices colonnes (-1,1,0,0) et (0,0,-1,1) forment une famille génératrice.

Merci à ceux/celles qui se pencheront sur mon problème. Bonne journée à tous et à toutes.

[Pierrot75]

Une famille génératrice à forcément un cardinal supérieur ou égal à toute base de l'espace vectoriel en question.

Dans ton cas tu as une famille de deux vecteurs d'un espace de dimension 4. Inutile de chercher à démontrer qu'elle est génératrice, elle ne l'est pas.

L'énoncé exact était: montrer que la famille (-1,1,0,0) ,(0,0,-1,1) est une base de Ker f= (-x,x,-z,z).
Pour l'indépence linéaire, j'ai bien compris la méthode, mais pour montrer qu'elle est génératrice, là je coince. Je ne comprends pas pourquoi tu dis que c'est un ev de dimension 4 :briques:

[Pierrot75]

Parce que sans précisions initiales l'ensemble naturel à considérer semblait être R^4.

La effectivement ce n'est plus la même chose.

A présent pour montrer que la famille engendre, il suffit de prendre y dans Ker(f)
il existe x et z tels que
y = (-x,x,-z,z) = x(-1,1,0,0) + z(0,0,-1,1)

Donc on a montré que tout y de Ker(f) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des termes de ta famille.

Ce qui caractérise le fait d'être généractrice.

Ok, merci de ta patience :id:

Donc si je comprends bien, pour montrer qu'une famille est génératrice, on définit deux réels et on essaye d'exprimer une combinaison linéaire de ces deux réels avec la famille? Je ne sais pas si c'est très compréhensible :hein:

[quinto]

Ok, merci de ta patience :id:

Donc si je comprends bien, pour montrer qu'une famille est génératrice, on définit deux réels et on essaye d'exprimer une combinaison linéaire de ces deux réels avec la famille? Je ne sais pas si c'est très compréhensible :hein:

Non, pour montrer que tu as une famille génératrice tu montres que tout vecteur de ton espace se décompose comme une combinaison linéaire des vecteurs de ta famille.

[Pierrot75]

Ok, merci bien.

[dordon]

en dimension finie , pour raccourcir les demos , tu peut aussi montrer que la famille est libre(famille de n vecteurs en dimension n) . souvent sa facilite pas mal les choses .