Famille génératrice

[biss]

Salut vous pouvez me donner un petit éclaircissement ?
Dans l'espace vectoriel on donne 5 vecteurs v1=(1,1,1,1) v2=(1,2,3,4) v3=(3,1,4,2) v4=(10,4,13,7)
v5=(1,7,8,14)
A quelles conditions un vecteur b=(b1,b2,b3,b4) appartient t-il au sous espace engendre par les vecteurs. Définir ce sous-espace par une ou des équations.

J'ai pu faire l'exercice mais j'ai'pris b \in Vect{v1,v2,v3,v4,v5} mais dans la correction, ils ont fait plus simple en disant que Vect{v1,v2,v3,v4,v5}=Vect {v1,v2,v3}.
Donc j'aimerai savoir comment ont-il fait pour avoir cette famille génératrice.

[bolza]

Bonjour,

On peut remarquer que :

v4 = 3.v3 + v1
v5 = 4.v2 - v3

Donc comme v4 et v5 s'exprime en fonction de v1,v2 et v3 alors Vect(v1,v2,v3,v4,v5)=Vect(v1,v2,v3).
Certes ce n'est pas le genre de chose qui se devine facilement.
En calculant rang(v1,v2,v3,v4,v5) tu devrais trouver 3, ceci te dit que parmi ces 5 vecteurs, deux peuvent
s'exprimer en fonction des trois autres.
Donc Il te suffit de trouver 3 vecteurs libres parmi les 5 pour avoir une base de ton sous-espace vectoriel.

[biss]

Ok merci bolza