Exponentielle de matrice

par **legeniedesalpages** » 08 Mai 2009, 17:41

Bonsoir,

je ne vois pas comment montrer que

est dans

ssi

.

Merci pour vos indications.

par **Nightmare** » 09 Mai 2009, 02:53

Salut :happy3:

Une idée : Je me suis demandé pourquoi a=0. Il est clair que A (notre matrice) n'est diagonalisable que si a=0. Il suffirait donc de montrer que si A est atteinte par exp alors elle est diagonalisable, a fortiori cela reviendrait à montrer qu'un antécédent de A par exp est diagonalisable puisqu'on a toujours X diag => exp(X) diag.

Soit B un antécédent de A par exp. Je regarde ce qu'il se passe du côté des valeurs propres :

On a

Or,

(facile en trigonalisant B dans

)

On en déduit que

. Par conséquent,

. En fait, on a exactement

puisque B est réelle et qu'a fortiori ses valeurs propres complexes sont conjuguées.

Bref, B est diagonalisable (2 valeurs propres distinctes) d'où A aussi. CQFD

Edit : Je me pensais pas capable de pondre ça à 4h du mat' ...

par **kazeriahm** » 09 Mai 2009, 03:03

Tu n'as montré aucune des implications de l'énoncé... Mais c'est quand même bien à 4h du mat' !

par **Nightmare** » 09 Mai 2009, 03:05

kaszriahm > Il me semble pourtant avoir montré le sens =>

J'ai montré que si A admettait un antécédent par exp alors elle était diagonalisable et qu'à fortiori a=0, il me semble bien que cela corresponde au sens direct non?

par **legeniedesalpages** » 10 Mai 2009, 19:16

Merci Jord.

par **Nightmare** » 10 Mai 2009, 19:23

Jten prie :happy3:

Exponentielle de matrice

exponentielle de matrice

Qui est en ligne