Soit :
Comment calcule-t-on : la dérivée de l'expression suivante :
Merci infiniment !
Exponentielle d'une matrice !
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Exponentielle d'une matrice !
par barbu23 » 23 Jan 2009, 16:24
Bonjour :
Soit : $)
Comment calcule-t-on : la dérivée de l'expression suivante : = e^{tA} $)
Merci infiniment !
Soit :
Comment calcule-t-on : la dérivée de l'expression suivante :
Merci infiniment !
par barbu23 » 23 Jan 2009, 16:26
Je sais que :  = A.e^{tA} $)
, mais comment la calculer ?
Merci d'avance de votre aide !
Merci d'avance de votre aide !
par barbu23 » 23 Jan 2009, 17:11
Bonjour "XENSECP'' :
Voiçi comment je procède :
La fonction :
est définie sur 
tout entier.
Soit :
On a :
A} - e^{t_{0}A}}{t} = e^{t_{0}A}. (\frac{e^{hA} - I_{n}}{h}) $)
Or : $)
Par conséquent :
A} - e^{t_{0}A}}{t} = \displaystyle \lim_{h \longrightarrow 0} e^{t_{0}A}. (\frac{e^{hA} - I_{n}}{h}) = \displaystyle \lim_{h \longrightarrow 0} e^{t_{0}A}. A . (I_{n}+\frac{hA}{2!}+ ... ) = A . e^{t_{0}A} $)
Par conséquent :
: '(t_{0}) = A . e^{t_{0}A} $)
CQFD
C'est bien comme ça ? :happy2:
Voiçi comment je procède :
La fonction :
Soit :
On a :
Or :
Par conséquent :
Par conséquent :
CQFD
C'est bien comme ça ? :happy2:
par L.A. » 23 Jan 2009, 18:11
Bonjour.
on peut utiliser un théorème de dérivation sous le signe somme :
la série des dérivées converge uniformément sur tout segment vers
t |-> Aexp(tA)
et la série converge simplement
donc la limite simple t |-> exp(tA) est C1 est sa dérivée est t |-> Aexp(tA)
on peut utiliser un théorème de dérivation sous le signe somme :
la série des dérivées converge uniformément sur tout segment vers
t |-> Aexp(tA)
et la série converge simplement
donc la limite simple t |-> exp(tA) est C1 est sa dérivée est t |-> Aexp(tA)
par L.A. » 23 Jan 2009, 18:18
pour ce que tu proposes : il faut vérifier dans le passage à la limite final que le terme (In + hA/2!+...) tend bien vers In quand h->0.
C'est vrai car la fonction h |-> In + hA/2! + ... est somme d'une série normalement convergente sur tout segment, donc continue.
C'est vrai car la fonction h |-> In + hA/2! + ... est somme d'une série normalement convergente sur tout segment, donc continue.
par barbu23 » 23 Jan 2009, 20:47
Merci "L.A." pour ces précisions !
J'ai une autre question à vous poser :
Xomment montre-t-on que l'application : = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^{k}}{k!} $)
est de classe 
?
Merci infiniment !
J'ai une autre question à vous poser :
Xomment montre-t-on que l'application :
Merci infiniment !
par barbu23 » 23 Jan 2009, 21:03
Re-bonsoir :
Soient : $)
:
On a :
-f(A) = \exp (A+H) - \exp (A) = \exp (A). \exp (H) - \exp (A) = \exp(A) ( \exp (H) - I_{n} ) = \exp (A) ( \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{H^k}{k!} - I_{n} ) = \exp (A) ( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{H^k}{k!}) = \exp (A) . H . ( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{H^{k-1}}{k!}) = \exp (A) . H + \exp ( A) . ( \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{H^{k-1}}{k!}) $)
On pose : = \exp (A) . H $)
est linéaire continue, et : -f(A)- L_{A}|| = || \exp ( A) . ( \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{H^{k-1}}{k!}) || \longrightarrow 0 $)
quant 
Donc :
est de classe : 
Qu'est ce qu'on fait après ?
Soient :
On a :
On pose :
Donc :
Qu'est ce qu'on fait après ?
par Doraki » 23 Jan 2009, 22:02
Si t'as montré que exp était C1 et que sa dérivée était exp, ben t'as plus aucun calcul à faire pour montrer que exp est infiniment dérivable..
par ffpower » 23 Jan 2009, 22:10
sauf que exp(A+H)=exp(A)exp(H) n est vrai que si A et H commutent..(enfin p-e pas "que si",mais en tout cas cette relation n est pas toujours vraie)..Je crois que c est pas facile de montrer que exp est C infini
par barbu23 » 23 Jan 2009, 22:13
Bonsoir "Doraki" :
Le problème est que je ne trouve pas : $)
pour la dérivée de  $)
mais .H $)
... ! donc, ce n'est pas la même chose que :  $)
.. :doh: 
Le problème est que je ne trouve pas :
par nuage » 23 Jan 2009, 23:35
Salut,
la dérivée (si elle existe) d'une application de
dans est une application de dans l'ensemble )
des applications linéaires de dans .
Si n'est pas de dimension 1 la fonction et sa dérivée ne sont pas dans le même espace.
Ce qui explique, entre autre, que la dérivée de)
n'est pas quand )
.
Le calcul est assez compliqué si mes souvenirs sont bons.
N'oublie pas de tenir compte de la remarque de ffpower : on peut avoir\neq \exp(A)\cdot \exp(H))
la dérivée (si elle existe) d'une application de
Si
Ce qui explique, entre autre, que la dérivée de
Le calcul est assez compliqué si mes souvenirs sont bons.
N'oublie pas de tenir compte de la remarque de ffpower : on peut avoir
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